Olimpíada Matemática Argentina

Investigación y docencia

Divagues

La computadora y la educación matemática

Primera versión: 27/06/2017

Contenidos

Introducción: Santaló y la educación matemática

1. Herramienta

2. Es lo que hay

3. No sólo los trapos son viejos

4. El auto y la computadora

5. El fluir del río

6. El Rubicón

7. Diez perritos

8. Colorín, colorado,...

Introducción: Santaló y la educación matemática

Hacia 1993, Santaló nos decía en el prólogo de La geometría en la formación de los profesores:

...

En los años actuales, con el auge de la ciencia y de la tecnología y dado el papel preponderante de la matemática en ellas, el problema de conseguir una buena formación matemática en todos los niveles de la educación se agudiza con renovado interés.

Desde la antigüedad se distinguen dos objetivos principales de la enseñanza de la matemática, a saber, el formativo, destinado a cultivar y practicar el razonamiento lógico, y el informativo, destinado a enseñar las técnicas especiales que son necesarias para usar la matemática en sus aplicaciones, cada vez más extendidas en todas las ramas del saber. A veces se ha dado preponderancia al aspecto formativo, que da lugar a lo que hoy llamamos matemática pura, posición defendida tradicionalmente por Platón al proponer para los ciudadanos de su República el estudio de aquella matemática que tiene por fin el conocimiento y que “facilita al alma los medios para elevarse desde la esfera de la generación hasta la verdad y la esencia”. El aspecto informativo, en cambio, constituye la hoy llamada matemática aplicada y era despreciada por Platón por considerarla destinada a los “comerciantes y traficantes, que la utilizan tan sólo en vista a las compras y a las ventas”. Esta matemática aplicada, sin embargo, fue esencial en la Nueva Ciencia de Galileo y en todos los desarrollos de la misma durante los siglos XVIII y XIX, resultando fundamental para toda la ciencia y tecnología modernas.

Ninguno de los extremos es bueno para una formación equilibrada entre pensamiento y acción, o entre el saber culto y el saber práctico. Una buena enseñanza debe balancear adecuadamente las dos formas de la matemática, pura y aplicada, para no perderse en puros virtuosismos o en un montón informe de recetas prácticas.

...

Aunque tal vez demasiado simples para algunos gustos, estas ideas son una buena base para considerar cualquier propuesta educativa, y nos ayudarán a pensar el lugar de la computadora en la enseñanza de matemáticas, y más específicamente, la enseñanza en los últimos años de secundaria y primeros de terciarios o universitarios.

Al inicio de Introducción (o casi)

Herramienta (utilidad)

La palabra “herramienta” nos trae a la mente imágenes de destornilladores o llaves inglesas. Si ahora aclaramos “para matemática”, muchos se quedarán con el signo de interrogación sobre la cabeza, otros pensarán en lápiz y papel, o regla y compás, tal vez la calculadora, y fuera del ámbito académico algún contador o ingeniero mencionará a la computadora como una de las “herramientas para matemática”.

Repasemos:

  • Lápiz y papel son casi indispensables para mí, me es difícil “pensar en el aire” sin hacer alguna cuenta, garabatear un esquema o escribir alguna nota para organizarme. Todavía no me alcanza la computadora de teclado y ratón.
  • La regla y el compás tienen un lugar muy específico dentro de la geometría (y sólo la euclidiana y casi exclusivamente en dos dimensiones). Tienen su lugar en la primaria y la secundaria, y prácticamente no se usan en matemáticas más avanzadas.
  • La calculadora tradicional la que no tiene gráficos ni posibilidades de programación es útil en la matemática elemental. Como la regla y el compás, encuentra poco espacio en las matemáticas avanzadas.
  • El contador usará variantes de la planilla de cálculo, que integran capacidad de cómputo con organización por columnas, texto y gráficos. Por su parte, el ingeniero posiblemente usará algún programa para aproximar numéricamente datos de su obra, y tal vez como el arquitecto algún programa de dibujo en dos o tres dimensiones para diseñar una casa o un puente.

La regla y el compás han ido cediendo lugar a los programas de geometría dinámica, que con sólo mover el ratón permiten considerar rápidamente distintas variantes de una construcción dada.

De modo similar, las planillas de cálculo permiten cambiar algunos datos para ver su influencia en los resultados finales. De hecho, inicialmente se usaron como recurso para la enseñanza de matemática.

Con el tiempo, algunos programas de geometría dinámica incorporaron planillas de cálculo sencillas, no necesariamente relacionadas con estudios geométricos. También algunas pueden hacer cálculos numéricos y simbólicos simples de derivadas e integrales (áreas).

En resumen, la computadora pensada como un todo compuesto de “hardware” y “software” permite no sólo reemplazar a herramientas que usábamos años atrás, sino que también las han hecho más poderosas al integrar distintas funciones, colocándola dentro de la enseñanza informativa que describía Santaló.

¿Podría también tener un lugar en la enseñanza formativa?

Antes de siquiera intentar balbucear una respuesta, veamos algunas características de la computadora como herramienta.

A inicio de sección (o casi)

Es lo que hay (disponibilidad)

Cuando hablamos de incorporar contenidos en la enseñanza de las matemáticas aparecen los interrogantes clásicos: ¿por qué?, ¿para qué?, ¿a quién?, ¿cómo? y tantas otras variantes. En el caso de la computadora, también aparece el “¿qué hay?”, no sólo en cuanto a las características técnicas y posibilidades de “hardware” y “software”, sino también procurando que sean ampliamente disponibles y de bajo costo.

Miremos la experiencia de la OMA.

En los comienzos de la década de 1990 proponíamos el uso de Cabri-Géomètre para la geometría dinámica y Mathematica para la programación, gráficos no geométricos (como fractales), y cálculos numéricos y simbólicos.

Cabri tenía como competidor a Geometer's Sketchpad, Mathematica a Maple, y no había mucho más. Las otras aplicaciones que podrían haberse usado eran tradicionales como el lenguaje Pascal, o directamente no tenían la “madurez” necesaria para trabajar sin tropezar a cada rato.

Cabri, Geometer's, Mathematica y Maple eran y siguen siendo comerciales, es decir, hay que pagar una licencia para usarlas. Las de las aplicaciones de geometría dinámica no eran tan onerosas comparadas con las de Mathematica o Maple. Además tenían una interface sencilla, era el ratón y unos pocos comandos agrupados en “menúes”. Por el contrario, Mathematica y Maple tenían muchísimos comandos (ahora muchos más), aún restringiéndose a los básicos para determinada tarea, y había que tipearlos.

Como consecuencia, en nuestro país Cabri tuvo buena acogida, pero Mathematica y Maple sólo encontraron cabida en ámbitos universitarios o de investigación.

Si bien fueron apareciendo muchas aplicaciones similares y gratis de geometría dinámica en el mundo, en Argentina Cabri fue reemplazado paulatinamente por GeoGebra, aplicación que actualmente cuenta también con elementos de geometría en 3 dimensiones, una planilla de cálculo sencilla, y algunas posibilidades de cálculo numérico y simbólico, haciendo que para la enseñanza a este nivel perdieran importancia algunas de las funciones de Mathematica (o Maple). Incluso durante cierto período GeoGebra incorporó experimentalmente el lenguaje Python, luego dejado de lado.

En cambio, no han aparecido aplicaciones de nivel profesional que sean gratis y puedan compararse con Mathematica o Maple, sistemas que siguen incorporando posibilidades y son cada vez más poderosos.

La experiencia con Cabri dio lugar a la formación de los Clubes Cabri, que si bien conservaron el nombre, en los últimos años las actividades se realizaron casi exclusivamente usando GeoGebra.

A su vez, de la experiencia con Mathematica surgió el Torneo de Computación y Matemática. Los lenguajes de programación permitidos fueron C/C++, Pascal y Basic (y Quick Basic), ya que es muy difícil tener una copia de Mathematica para practicar.

En otras palabras, se emplean recursos disponibles teniendo en cuenta también el costo asociado.

Estamos tocando, además, otro punto relacionado: la obsolescencia de hardware y software, lo que está hoy difícilmente estará dentro de unos años.

En una una sección de La introducción a un libro de 1994 se habla con más detalle sobre la elección de Mathematica.

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No sólo los trapos son viejos (obsolescencia)

Regla y compás fueron elementos tradicionales de geometría desde, digamos, 500 años a. C. si no antes, y poco a poco van dejando lugar a la computadora. Su “vida útil” fue de más de 2500 años.

Como contracara, en la OMA empezamos trabajando con Cabri y Mathematica (que siguen existiendo como aplicaciones), y aunque por otras razones ya no los usamos más, sería imposible usar en las computadoras de hoy las versiones con las que empezamos más de 20 años atrás, y recíprocamente, las versiones actuales no podrían usarse en las computadoras de esa época.

También la tecnología del “hardware” avanza tan rápidamente que elementos de punta en pocos años quedan obsoletos.

Cuando empezamos con los cursos con computadora en la OMA debíamos enseñar primero a usar el “diskette” y el ratón.

Por mucho tiempo el ratón en algunos sistemas tuvo un único botón, en otros dos y algunos otros tres, y cuando parecía haberse normalizado en dos botones las pantallas táctiles de tabletas y celulares lo dejaron atrás.

El ratón está en peligro de extinción. El diskette desapareció varias generaciones atrás.

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El auto y la computadora (interoperabilidad)

Si queremos conocer los principios de educación vial, desde la teoría poco importa si los autos tienen el volante a la izquierda (como en Argentina) o a la derecha (como en Inglaterra), o si el carril en dirección contraria está a nuestra izquierda (como en nuestras carreteras) o a la derecha (como en las de Inglaterra). Pero si queremos que ese conocimiento sea directamente aplicable acá, parece conveniente practicar con un auto con volante a la izquierda, que al cruzar las vías del tren miremos primero a la derecha y después a la izquierda, pero al revés en una calle de doble mano.

A veces cuando cambiamos de sistema operativo o de software en la computadora es como si el volante que estaba a la izquierda se cambiara a la derecha.

Difícilmente las aplicaciones tengan una misma interface. El comando para resolver un sistema lineal es distinto en Mathematica, en Matlab o en Maple, y aún podemos preguntarnos qué versión de castellano debemos usar en GeoGebra: ¿la española de España?, ¿la de Uruguay?, ¿o simplemente la española sin país?

Peor: frecuentemente las nuevas versiones de sistemas operativos y aplicaciones tienen cambios “para mejorar la experiencia personal”.

Claro que este es un problema académico, sólo para viejos. Los chicos y jóvenes no tienen problemas en usar cualquier celular, sean o no de una misma marca o sistema operativo. Personalmente, muchas veces ya tengo problemas cuando se actualiza una aplicación en el mío.

Viendo el celular en el recodo del río, nos bajamos del auto y nos subimos a una embarcación para que el fluir del río nos lleve a visitar nuevos paisajes.

El 10 de junio de 1945 se cambio el sentido de circulación de los autos en Argentina, conservándose la usanza inglesa en los trenes (y subtes en Buenos Aires).

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El fluir del río (¿pura, culta o aplicada?)

Los celulares “inteligentes” cambiaron nuestras costumbres y nuestra vida social, y también nos dan otra visión sobre la relación entre la computadora y la enseñanza.

Muy parecidos a una computadora, los celulares vienen con una calculadora y es posible agregar muchas aplicaciones útiles para la enseñanza, como el mismo GeoGebra.

A más de 40 años de su aparición, aún queda cierta discusión sobre si la calculadora electrónica puede usarse siempre o si, por el contrario, hay que aprender las tablas de multiplicar de memoria. Por ejemplo, en algunas competencias de olimpíadas matemáticas no se permite su uso.

Habiendo sido adoptado por gran parte de la sociedad, y aprovechando el surco abierto por la calculadora, el celular debería ser aceptado rápidamente en las escuelas... pero nunca apostaría.

Calculadoras con números y teclas grandes son muy usadas para hacer cuentas rápidas en los comercios, y es razonable que se enseñe su uso en la escuela (hice un 10% de descuento pero hay que agregar 21% de IVA, ¿cuál es el precio final?), y retomando el planteo de Santaló y los comentarios de Platón, nos preguntamos:

  • ¿En la enseñanza deben emplearse sólo herramientas (o aplicaciones) que se usan en la “vida real”, fuera de la escuela? (como la calculadora, el celular o la planilla de cálculo).
  • Si esto fuera así, ¿deberíamos evitar el uso de GeoGebra o equivalentes en las escuelas?
  • Siguiendo en esa línea, ¿cuán importante son las construcciones con regla y compás?, ¿y por qué aparecen en las olimpíadas matemáticas?

Pidamos ayuda a Santaló:

...

Ninguno de los extremos es bueno para una formación equilibrada entre pensamiento y acción, o entre el saber culto y el saber práctico. Una buena enseñanza debe balancear adecuadamente las dos formas de la matemática,...

donde recalqué la mención sobre el saber culto y el saber práctico.

La redacción sugiere que Santaló equipara el saber culto con la matemática pura. Independientemente de la intención de Santaló, veamos que hay temas que podríamos clasificar como de “matemática aplicada” que son parte del “saber culto”.

Cuando nos enseñan trigonometría, ya sea en los últimos años de la secundaria o en los primeros de la terciaria/universitaria, parece que su razón de ser es la resolución de triángulos. Usaremos la calculadora para calcular el seno, el coseno o lo que corresponda, reduciendo la trigonometría a una o varias receetas. ¿Es este un saber práctico?, ¿cuántas veces por día uno ve a gente en la calle resolviendo triángulos?

Un tanto por esta lectura de la trigonometría como “montón de recetas prácticas” que no se usan en la vida diaria, en algunas escuelas ya no se enseña.

Sin embargo, como aprendemos un poco después, las funciones trigonométricas son las más sencillas para describir fenómenos periódicos, de los cuales abundan ejemplos (períodos de Luna o Sol, vibraciones, ondas, los MHz y GHz de radios y computadoras,...): las funciones trigonométricas forman parte del “saber culto” del ciudadano.

GeoGebra puede ser muy útil para entender la descripción de movimientos periódicos mediante funciones trigonométricas. Apartándose ya de su rol como sustituto de la regla y compás, y aunque no se use en la vida diaria, GeoGebra se transforma en una herramienta poderosa para el aprendizaje de un “saber culto” de “matemática aplicada”.

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El Rubicón (después de los botones)

Veníamos tan entretenidos contemplando las bucólicas escenas de la enseñanza de matemática, que no nos dimos cuenta que ahora estamos en pleno Rubicón. De un lado la certeza y la tranquilidad, del otro la aventura de retorno incierto. De un lado los botones, menúes y comandos prefabricados y certeros, del otro rompecabezas para armar que muchas veces no podremos terminar o serán directamente inconsistentes.

Para rendir el examen de ingreso a la secundaria tuve que aprender a calcular raíces cuadradas y cúbicas con lápiz y papel. Sólo los viejos recordamos la tabla de logaritmos o la regla de cálculo, y a decir verdad, sin mucha nostalgia. La calculadora ha dejado completamente obsoletas a esas técnicas y herramientas.

¿Cómo hace la calculadora para calcular las raíces cuadradas y cúbicas?, ¿usa las mismas recetas que yo aprendí? Definitivametne no, usa procedimientos mucho más eficientes y generales, y de hecho el método que usa para calcular la raíz cuadrada tiene la misma base que el que usa para calcular el logaritmo o el seno.

Ciertamente aproximar la raíz cuadrada en forma eficiente es de interés para los que diseñan la calculadora y puede ser un conocimiento muy especializado para la mayoría, pero tener una idea del algoritmo básico puede ayudarnos a entender cómo funciona este aparato casi mágico.

Así como las funciones trigonométricas nos ayudan a entender cómo estudiar procesos periódicos, lejos de pretender ser astrónomos, físicos o ingenieros electrónicos, hay muchos algoritmos que nos ayudan a entender cómo funcionan cosas de la vida cotidiana.

Pero no sólo se trata de “cultura general”.

Escribir un programa computacional para implementar un algoritmo es una forma de construir algo concreto, como construir una canasta de mimbre, un banco de madera o encuadernar un libro.

Las construcciones con regla y compás en geometría son algoritmos. Tanto Cabri como GeoGebra han perdido esta oportunidad: podemos ver la secuencia de instrucciones seguidas en el “protocolo de construcción”, pero no podemos modificar fácilmente el “programa”, o escribir una serie de comandos y que Cabri o GeoGebra los “ejecuten”.

Si está bien llevado por el docente, aunque el resultado alcanzado no sea perfecto, cuando el alumno llega a plasmar en un programa computacional un algoritmo obtiene un alto grado de satisfacción y autoestima, a la vez que puede apreciar la matemática involucrada.

Veamos algunos ejemplos:

  • El algoritmo de Euclides es tal vez el más antiguo que se conoce. Encuentra muy eficientemente el máximo común divisor entre dos enteros evitando la factorización en primos.
  • La criba de Eratóstenes es otro algoritmo muy antiguo. Permite encontrar los números primos menores que cierto valor dado, por ejemplo, todos los primos menores que $1000$.
  • La regla de Horner evalúa polinomios eficientemente, y puede usarse para obtener la representación en distintas bases. Por ejemplo, escribir en base $2$ el número que en base $10$ es $123$.
  • Búsqueda binaria es la formalización del método que normalmente usamos para buscar en un diccionario o en una guía, y la versión continua sirve para encontrar raíces de ecuaciones de cualquier tipo en una dimensión.
  • Para $a > 0$, $\sqrt{a}$ puede aproximarse iterando la función $(x + a/x)/2$, llamado método babilónico.

    Se puede observar cómo converge numéricamente mediante experimentos, y los más entusiastas pueden estudiar la convergencia teórica muy sencillamente a partir del desarrollo del binomio.

  • La teoría de grafos es cada vez más importante, y una buena introducción puede ser la resolución de problemas como el del recorrido de un caballo en el tablero de ajedrez, el de las 8 reinas, matrimonios estables, coloreo de grafos y muchos más usando la técnica de “rastreo inverso” (backtracking).
  • Otro tipo de algoritmos para grafos pueden ser los de búsqueda en un grafo (donde la búsqueda secuencial o binaria no tienen sentido), llegando a encontrar el camino más corto como hacen los GPS.

Seguramente el lector puede imaginar muchas aplicaciones y situaciones de la vida real donde estos algoritmos pueden ser usados.

Junto con el algoritmo de Euclides, los números primos son la base de varios métodos criptográficos, como el RSA.

La versión continua de búsqueda binaria es la antesala al teorema de Bolzano y la completitud de los reales: si dibujo una función sin levantar el lápiz empezando con un valor negativo y terminando con uno positivo, en el medio tengo que pasar por el eje $x$.

El método babilónico es particularmente interesante porque presenta el método de punto fijo, con el que se pueden resolver ecuaciones trascendentes como $\sen x = x$.

También es un caso particular del método de Newton-Raphson, método de punto fijo que puede ser adaptado para aproximar otras funciones trascendentes como logaritmos y trigonométricas, usando exclusivamente operaciones elementales (suma, resta, producto y división).

Por otro lado, el método babilónico puede dar pie al estudio de sistemas dinámicos discretos, el diagrama de órbitas y el conjunto de Mandelbrot.

La técnica de rastreo inverso puede encontrarse en muchos libros, pero vale la pena mirar “Algoritmos y estructuras de datos” (Prentice-Hall Hispanoamericana, 1986) de N. Wirth, creador del lenguaje Pascal.

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Diez perritos (¡no empujen!)
Yo tenía diez perritos,
y uno se perdió en la nieve,
no me quedan más que nueve,
...
y ese perrito que quedaba,
se lo llevó mi cuñada,
ahora ya no tengo nada.

Como los perritos en la canción infantil, de a poco van desapareciendo las horas de matemática en la escuela, un poco por los contenidos que se agregan de otras ciencias como las sociales, y muy posiblemente porque la matemática que se ve en la escuela no es lo suficientemente atractiva o útil, o quizás se haya llegado al “montón informe de recetas prácticas” que mencionaba Santaló.

Uno de los competidores directos de matemática son las tecnologías de la información y comunicación (TIC).

En una entrevista de 1995, el fundador de la compañía Apple S. Jobs sostenía “creo que todos deben aprender a programar porque enseña a pensar” y “veo a ciencias de la computación como parte de las humanidades, algo que todos deben aprender a hacer”.

¿No es muy similar a lo que pensamos sobre la matemática y su lugar en la escuela?

La enseñanza de informática empezó con unas horas en los últimos años de la secundaria en las que se enseñaba a usar la computadora y algunos utilitarios del tipo MS-Office (Word, Excel y PowerPoint).

Con la disponibilidad de internet, la computadora extendió su presencia a la escuela primaria y su uso se hizo transversal a todas las materias: ¿en qué parte no ayuda una búsqueda en internet de datos, imágenes o sonido?

Poco a poco la programación fue ganando espacio dentro de la enseñanza de las TIC. Así, en la escuela primaria se realizan actividades para modificar y construir juegos o historias, o se trabaja sobre variantes actualizadas de la tortuga del LOGO tradicional.

La propuesta de LEGO Mindstorm Robotics es muy concreta: propone programar robots (“Mindstorms” es el título del libro de S. Papert que popularizó al LOGO), y ya hay varias compañías que fabrican drones para que los niños los programen. ¡Qué lejos estamos de las construcciones con regla y compás!

En general se emplean técnicas de programación orientada a objetos, más acorde con la actual corriente en informática, antes que de programación procedimental como la del lenguaje Pascal, más apropiada para los algoritmos de matemática.

Algunos de los muchos lenguajes empleados internacionalmente para esta etapa son Scratch (MIT), lightbot, Alice (Carnegie-Melon) y Twine.

Organizaciones como code.org, refrendada por varios empresarios de la talla de B. Gates (Microsoft), J. Dorsey (Twitter) y M. Zuckerberg (Facebook), ofrecen cursos de programación de distintos niveles y en varios idiomas gratuitamente. Microsoft patrocina también al programa Teals, mientras que Apple ofrece gratuitamente el lenguaje Swift y actividades relacionadas.

El negocio de las TIC es y seguirá siendo importante, y no sorprende que las grandes empresas intervengan: ¡pobre matemática!

La mayoría de los lenguajes con los que se enseña programación en el nivel elemental usan un “diseño por bloques”, evitando que los chicos tengan que escribir o memorizar comandos. Inclusive “traductores” como Blockly (Google) pasan del lenguaje de bloques a lenguajes de programación como Python.

No está de más recordar que las entradas a GeoGebra pueden darse tanto por vía de menúes como con comandos tipeados en la barra de entrada, y hay más comandos para tipear que los que están en los menúes. Claro que GeoGebra no tiene un lenguaje de programación.

Después de la etapa inicial, gran parte de la enseñanza de la programación en informática se aleja de matemática y se enfoca en temas de las TIC, como por ejemplo construcción de páginas web (html/css, javascript, php,...).

STEM, Science, Technology, Engineering and Mathematics (ciencia, tecnología, ingeniería y matemática), es la sigla de un movimiento educacional que promueve estas disciplinas desde la primaria. Nació en Estados Unidos hacia 1998 y se ha diseminado a varios lugares, sobre todo aquellos que consideran insatisfecha la demanda de trabajo en esas áreas. Muy especialmente trata de atraer a mujeres y minorías raciales, muy mal representadas en el mercado laboral correspondiente, y las actividades son del tipo interdisciplinario.

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Colorín, colorado,...

Es hora de ir poniendo fin a este divague (así podemos empezar otro 😉).

No es novedad que la computadora es una herramienta poderosa para usar tanto en matemática como en su enseñanza, pero veamos algunas conclusiones que podemos hacer, casi todas también debidas a mi gran amigo Pero Grullo:

  • Cuando se diseña una actividad con la computadora, ya sea a nivel de ministerio o de docente, hay que tener en cuenta qué es lo que se quiere hacer y qué elementos hay disponibles para hacerlo, sabiendo que lo que está ahora muy posiblemente no estará dentro de unos años, y que elementos computacionales que realizan la misma tarea pueden tener interfaces completamente diferentes.
  • El avance arrollador de la tecnología hace que los contenidos deban revisarse cada vez con mayor frecuencia, y el entrenamiento de docentes se vuelve crítico.
  • Es deseable que lo que se aprenda en el aula pueda ser útil para desempeñarse en la vida, incluyendo la “cultura general” que debe tener todo ciudadano. Por lo tanto, las aplicaciones (programas) a usar no tienen que limitarse a los usados por los profesionales. Un buen ejemplo de esto es GeoGebra (y similares) cuando nos apartamos de su uso como sustituto de la regla y el compás.
  • No podemos limitarnos a enseñar a apretar botones y escribir comandos que no volverán a usares. El desarrollo personal de algoritmos computacionales puede ser instructivo, constructivo y no menos importantegrato.
  • Cada vez hay menos horas en la escuela dedicadas a matemática y es probable que la situación siga empeorando. Lejos de rechazar la “intrusión” de la informática, deberíamos ver la forma de aprovechar su empuje para introducir nuevos temas en la escuela: la programación de algoritmos clásicos en la computadora puede ser una experiencia enriquecedora en muchos sentidos.

A inicio de sección (o casi)

Fin