R A M A   V E R D E   X V I I





EJEMPLO 4: En la figura, AB y CD son rectas que se cortan en O. Escribir la

medida de cada ángulo AOD, AOC y BOC en funcion de x.

  A .                              .D

      .                        .

        .                  .

          .            .

            .      .

              .O

           .    .  xº

       .          .

   .                .

.                    C

B

        SOLUCION:

Como AC es una recta:   AOD = 180º - DOC = 180º - xº.

Como BD es una recta:   BOC = 180º - DOC = 180º - xº.

Como AC es una recta:   AOB = 180º - BOC = 180º - (180º - xº) = xº.

        Esto demuestra que cuando se intersectan dos rectas, los ángulos

opuestos por el vértice son iguales, ¡qué novedad!

 

                        PARALELAS Y TRASVERSALES

Recordemos que al cortar dos paralelas con una trasversal:

                                        /

                                  yº  / xº

         ---------------------------/--------------------------

                                xº/  yº

                                /

                              /

                            /

                      yº  /  xº

         ---------------/--------------------------------------

                   xº /  yº

                    /

Los ángulos marcados con x son iguales entre sí.

Los ángulos marcados con y son iguales entre sí.

Además, x + y = 180.

 

EJEMPLO 5: Si PQRS es un paralelogramo y el ángulo PQR = 58º, hallar RSP.

 

SOLUCION:      P_______________Q

              /            58º/        PQR + QRS = 180º

            /_______________/          por lo tanto QRS = 122º

            S               R          RSP + QRS = 180º

                                       Luego, RSP = 58º.





EJEMPLO 6:                                  W______________________X

           UWZ = 70º                       / \

           VUW = 60º                     /  70º\

        WX // YZ // UV                 /  Y______\Z

Hallar WZY.                          /_60º_________________

                                     U                     V

SOLUCION:  

        XWU + WUV = 180º, por lo tanto XWU = 120º. Pero UWZ = 70º, luego

XWZ = 50º. Como WZY = XWZ (alternos internos entre paralelas)

tenemos WZY = 50º.

                                               .A

                                            .

EJEMPLO 7:                              B..........................E

           BE // CD                   .   .

           BCD = 30º               .        .

           BDC = 50º            .   30º   50º .

Hallar CBD.                   ..................

                             C                 D

SOLUCION:  

         ABE = BCD = 30º (correspondientes entre paralelas).

         EBD = BDC = 50º (alternos internos entre paralelas).

Pero ABE + EBD + CBD = 180º, por lo tanto CBD = 180º - 30º - 50º = 100º.

 



EJEMPLO 8:                      A _______X_____________________B

          AB // CD                       \ 40º

          BXY = 40º                        \

          DZY = 20º                       /  Y

Hallar XYZ.                            /

                                 ___/__20º______________________

                                C  Z                            D

SOLUCION  

Acá introducimos nuestra SEGUNDA ESTRATEGIA para cazar ángulos: TRAZAR RECTAS

AUXILIARES. Muchas veces es útil introducir nuevas líneas que conecten la in-

formación conocida con la que se desconoce pero se quiere conocer.



Trazamos por Y una paralela    A _______X_____________________B

a AB (y por lo tanto a CD):              \ 40º

LM.                             ___________\__________________

LYX = BXY = 40º (alternos      L          /  Y                M

internos entre paralelas).             /

LYZ = YZD = 20º (alternos        ___/__20º______________________

internos entre paralelas).      C  Z                            D

Por lo tanto, XYZ = LYX + LYZ = 60º.





EJERCICIOS:

5. Si AB // CD; AC // BD; BAD = 32º; BDE = 71º, hallar a, b, c, d, e.

     A_____________B

    /c\ 32º     e /

  /      \    b /

/_d________a_\/

C             E

 

6. Hallar x         85º \

           (i) __________\_________/___________

                          \   48º/

                           \ xº/

               _____________\/_________________

 

          (ii)  A \   .            .  \E

                    \36º   .     .   x  \

                      \     56º.          \

                        \    .       .      \

                          \.              .   \

                          B                   D

 

7. Hallar x

                       \                        \

                         \                        \

                     2xº+6º\                        \  3xº-1º

                _____________\________________________\_______

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