R A M A V E R D E X V I I
EJEMPLO 4: En la figura, AB y CD son rectas que se cortan en O. Escribir la
medida de cada ángulo AOD, AOC y BOC en funcion de x.
A . .D
. .
. .
. .
. .
.O
. . xº
. .
. .
. C
B
SOLUCION:
Como AC es una recta: AOD = 180º - DOC = 180º - xº.
Como BD es una recta: BOC = 180º - DOC = 180º - xº.
Como AC es una recta: AOB = 180º - BOC = 180º - (180º - xº) = xº.
Esto demuestra que cuando se intersectan dos rectas, los ángulos
opuestos por el vértice son iguales, ¡qué novedad!
PARALELAS Y TRASVERSALES
Recordemos que al cortar dos paralelas con una trasversal:
/
yº / xº
---------------------------/--------------------------
xº/ yº
/
/
/
yº / xº
---------------/--------------------------------------
xº / yº
/
Los ángulos marcados con x son iguales entre sí.
Los ángulos marcados con y son iguales entre sí.
Además, x + y = 180.
EJEMPLO 5: Si PQRS es un paralelogramo y el ángulo PQR = 58º, hallar RSP.
SOLUCION: P_______________Q
/ 58º/ PQR + QRS = 180º
/_______________/ por lo tanto QRS = 122º
S R RSP + QRS = 180º
Luego, RSP = 58º.
EJEMPLO 6: W______________________X
UWZ = 70º / \
VUW = 60º / 70º\
WX // YZ // UV / Y______\Z
Hallar WZY. /_60º_________________
U V
SOLUCION:
XWU + WUV = 180º, por lo tanto XWU = 120º. Pero UWZ = 70º, luego
XWZ = 50º. Como WZY = XWZ (alternos internos entre paralelas)
tenemos WZY = 50º.
.A
.
EJEMPLO 7: B..........................E
BE // CD . .
BCD = 30º . .
BDC = 50º . 30º 50º .
Hallar CBD. ..................
C D
SOLUCION:
ABE = BCD = 30º (correspondientes entre paralelas).
EBD = BDC = 50º (alternos internos entre paralelas).
Pero ABE + EBD + CBD = 180º, por lo tanto CBD = 180º - 30º - 50º = 100º.
EJEMPLO 8: A _______X_____________________B
AB // CD \ 40º
BXY = 40º \
DZY = 20º / Y
Hallar XYZ. /
___/__20º______________________
C Z D
SOLUCION
Acá introducimos nuestra SEGUNDA ESTRATEGIA para cazar ángulos: TRAZAR RECTAS
AUXILIARES. Muchas veces es útil introducir nuevas líneas que conecten la in-
formación conocida con la que se desconoce pero se quiere conocer.
Trazamos por Y una paralela A _______X_____________________B
a AB (y por lo tanto a CD): \ 40º
LM. ___________\__________________
LYX = BXY = 40º (alternos L / Y M
internos entre paralelas). /
LYZ = YZD = 20º (alternos ___/__20º______________________
internos entre paralelas). C Z D
Por lo tanto, XYZ = LYX + LYZ = 60º.
EJERCICIOS:
5. Si AB // CD; AC // BD; BAD = 32º; BDE = 71º, hallar a, b, c, d, e.
A_____________B
/c\ 32º e /
/ \ b /
/_d________a_\/
C E
6. Hallar x 85º \
(i) __________\_________/___________
\ 48º/
\ xº/
_____________\/_________________
(ii) A \ . . \E
\36º . . x \
\ 56º. \
\ . . \
\. . \
B D
7. Hallar x
\ \
\ \
2xº+6º\ \ 3xº-1º
_____________\________________________\_______
