R A M A V E R D E X V I
ANGULOS
A .
. .
E . . . . . . . . . . . . .B
. .
. . . .
. .
. . .
. .
. .
D C
El pentágono regular es una figura de cinco lados de igual longitud y todos
los ángulos interiores iguales. La estrella regular de cinco puntas se obtie-
ne prolongando los lados de un pentágono regular, hasta que se cortan. Se pue-
de dibujar sin levantar el lápiz del papel y da lugar a varias preguntas inte-
resantes.
(i) ¿Son iguales los ángulos A, B, C, D, y E?
(ii) ¿Se puede dibujar otra estrella regular, de más puntas, sin levantar el
lápiz del papel? Más aún, ¿se pueden dibujar todas sin levantar el lápiz del
papel?
(iii) Los ángulos en cada punta de la estrella, medidos en grados, ¿dan núme-
ros enteros?
(iv) ¿Para qué estrellas regulares, si es que hay alguna, la medida de los án-
gulos, en grados, es un número entero?
Para responder estas preguntas es necesario
a) Saber algunas relaciones que hay entre los ángulos de diversas figuras.
b) Persistencia en la búsqueda, que quiere decir, tener suficiente tenacidad
para aprovechar las propiedades observadas de algún ángulo para deducir nue-
vas propiedades.
Algunos resultados y propiedades:
1- Si O es un punto del segmento AB y X un punto fuera del segmento, tal que
los ángulos XOA y XOB son iguales, entonces esos dos ángulos se dicen RECTOS.
2- Un GRADO es la 1/90 parte del ángulo recto. Es decir, el ángulo recto mide
90º.
PROPIEDAD:
Si se trazan semirrectas con un origen común, la suma de los ángulos consecu-
tivos que quedan formados es igual a 4 rectos.
EJEMPLO 1: Dos barcos A y C se alejan de una isla B. La dirección del primero
forma un ángulo de 15º con el norte y la dirección del segundo forma un ángulo
de 285º con el norte. ¿Cuál es el ángulo entre las direcciones de A y de C,
vistas desde B? (Los ángulos de las direcciones se midieron en sentido hora-
rio).
Solución:
El ángulo NBC= 285º, entonces el ángulo agudo NBC = 360º- 285º = 75º.
El ángulo agudo NBA = 15º, entonces el ángulo buscado es de 90º.
De aquí en más, cuando mencionemos cualquier ángulo AOB, nos referire-
mos al que es menor que dos rectos. Cuando necesitemos el otro, lo haremos ex-
plícitamente.
EJEMPLO 2: Cinco semirrectas de origen común OA, OB, OC, OD y OE forman ángu-
los de modo que
EOD = 2 COB; COB = 2 BOA; y DOC = 3 BOA.
Si AOE = 2 rectos, hallar DOB.
Solución:
Introducimos nuestra PRIMERA ESTRATEGIA para cazar ángulos: recurrir
al álgebra para simplificar la cacería.
Sea x la medida en grados de AOB, entonces:
x + 2x + 3x + 4x = 180, pues EOA = 2 rectos
Luego, 10x = 180
Por lo tanto, x = 18. De allí se deduce que DOB = 5x = 90º.
EJEMPLO 3: Desde un punto O de la recta AB se trazan dos semirrectas, OX y OY
tales que AOX = BOY. Si OZ bisecta a XOY, demostrar que OZ es perpendicular
a AB.
[Este ejemplo está presentado para mostrar que a veces es necesario considerar
diferentes casos.] .X |Z .Y
Solución CASO 1. Si AOX es agudo . | .
2x + 2y = 180 . | .
Luego, x + y = 90 . x | y .
y en este caso, OZ es perpendicular x . | . y
a AB. ____________|_____________
A O B
CASO 2: Si AOX es obtuso .Y |Z .X
Podemos usar la misma notación . | .
pero con cierta astucia . | .
AOX = x + 2y . y | y .
Nuevamente, 2x + 2y = 180, por lo x . | . x
tanto x + y = 90 y en este caso ____________|_____________
OZ es perpendicular a AB. A O B
CASO 3: Si AOX = 90º, entonces OX, OY y OZ coinciden y obtenemos OZ perpendi-
cular a AB.
PRECAUCION: Cuando se resuelven problemas de geometría hay que asegurarse de
que la solución que se obtuve NO depende del dibujo particular que uno hizo
para representar los datos.
EJERCICIOS
1. Hallar el valor de x, enunciando qué propiedad geométrica se usa en cada
paso . .
i) . .
. .
. xº .
2xº . . 60º
_____________._________________
ii)
. .
. 26º .
4xº . . 3xº
_____________.__________________
2. .C
.
.
11xº .
D........................ 7xº
. .
12xº . .
. 6xº .
. .
A B
i) Hallar x.
ii) ¿Qué puntos quedaron alineados?
3. Sea AOB un ángulo de 180º y OC una semirrecta de origen O. Si OX bisecta a
AOC y OY bisecta a COB, hallar la medida de XOY.
4. Sea OX la bisectriz del ángulo AOB y C en la prolongación de OB, del otro
lado de O. Si OY es perpendicular a OX, con Y del mismo lado de BOC que A y X,
hallar la relación entre COY y AOY.
