R A M A V E R D E X I
ENTEROS CONGRUENTES
Hasta ahora sólo hemos trabajado con números naturales: 1, 2, 3, ...
De aquí en más, será conveniente ampliar nuestro universo a los números ente-
ros: ....., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Los enteros a y b son congruentes módulo m (m entero) si a-b es divi-
sible por m.
La notación que usaremos para ello es
a ð b (mod m).
Ejemplos 1
(a) 9 ð 6 (mod 3) pues 9-6 es divisible por 3.
(b) 27 ð 7 (mod 10) pues 27-7 es divisible por 10.
(c) 101 ð 63 (mod 19) pues 101-63 es divisible por 19.
(d) -11 ð 5 (mod 8) pues -11-5 es divisible por 8.
(e) 81 ð 0 (mod 27) pues 81-0 es divisible por 27.
Algunas propiedades de la congruencia:
(i) Si a ð b (mod m) entonces b ð a (mod m).
(ii) Si a ð b (mod m) y b ð c (mod m) entonces a ð c (mod m).
Por ejemplo, 47 ð 3 (mod 11) y 3 ð 36 (mod 11), por lo tanto
47 ð 36 (mod 11).
(iii) Una condición muy importante es la siguiente: a ð b (mod m)
equivale a:
a y b tienen el mismo resto en la división por m.
Por ejemplo, 3 ð 7 (mod 2) ya que tanto 3 como 7 tienen resto 1 en la división
por 2.
Observamos que: 3 ð 1 (mod 2) , 7 ð 1 (mod 2).
(iv) Si a ð b (mod m) y c ð d (mod m) entonces a + c ð b + d (mod m) y
a - c ð b - d (mod m).
Por ejemplo, 12 ð -2 (mod 7) y 1 ð 15 (mod 7)
sumando, resulta 13 ð 13 (mod 7);
restando, resulta 11 ð - 17 (mod 7).
(v) Si a ð b (mod m) y c ð d (mod m) entonces ac ð bd (mod m).
Por ejemplo, 12 ð -2 (mod 7) y 1 ð 15 (mod 7), por lo tanto 12 ð -30 (mod 7).
(vi) Si a ð b (mod m) entonces aü ð bü (mod m), donde n es natural.
2 2 3 3
Por ejemplo, 2 ð 12 (mod 10), entonces 2 ð 12 (mod 10) y 2 ð 12 (mod 10).
56
Ejemplo 2: ¿Cuál es el último dígito de 3 ?
Trabajamos módulo 10, pues esto nos da el último dígito.
2 3
3 ð 3 (mod 10); 3 ð 9 (mod 10); 3 ð 27 (mod 10) ð 7 (mod 10)
4 5
3 ð 81 (mod 10) ð 1 (mod 10); 3 ð 243 (mod 10) ð 3 (mod 10).
Esto muestra que los últimos dígitos de las potencias de 3 son 1, 3, 7 y 9.
56 56 4 14
Para llegar "rápido" a 3 , observamos que 56 = 14.4, entonces 3 = (3 ) .
4 4 14 56
Pero 3 ð 1 (mod 10), luego (3 ) ð 1 (mod 10). El último dígito de 3 es 1.
Cualquier número será congruente módulo 5 a un número del conjunto
{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }. Por ejemplo 37 ð 2 (mod 5); 23 ð 3 (mod 5);
39 ð 4 (mod 5).
Los números 0, 1, 2, 3, 4, se llaman "restos módulo 5"/
Podemos hacer la tabla de suma y la de multiplicación entre restos módulo 5.
______________________ ______________________
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | . | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
--|---|---|---|---|---| --|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
--|---|---|---|---|---| --|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
--|---|---|---|---|---| --|---|---|---|---|---|
2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
--|---|---|---|---|---| --|---|---|---|---|---|
3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
--|---|---|---|---|---| --|---|---|---|---|---|
4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |
---------------------- -----------------------
EJERCICIOS
1995
1)Hallar el resto de dividir 2 por:
a) 7 b) 11.
1995 1995
2) Hallar los dos últimos dígitos de 5 y 7 .
(sugerencia:usar módulo 100).
3) Hallar el menor entero positivo b que satisface la congruencia:
56 32
a) 3 ð b (mod 7) b) 7 ð b (mod 7)
122 122
c) 7 ð b (mod 11) d) 7 ð b (mod 13)
56 32
e) 3 ð b (mod 11) f) 7 ð b (mod 11).
4) a) Explicar por qué todo primo impar es de la forma 4n+1 ó 4n+3. Listar los
20 primeros primos, indicando en cada uno a cuál de las formas corresponde.
b) Mostrar que para cualquier natural b se verifica:
b² ð 0 (mod 4) ó b² ð 1 (mod 4).
(sugerencia: analizar por separado los casos b par y b impar).
c) Mostrar que la sucesión
11, 111, 1111, 11111, .... no contiene cuadrados perfectos.
d) Para los primos listados en (a) que son de la forma 4n+1, escribir cada
uno como suma de dos cuadrados.
e) Mostrar que los primos de la forma 4n+3 no pueden escribirse como suma
de dos cuadrados.
