R A M A V E R D E X I I
MAS EJERCICIOS
5. Construir las tablas de multiplicación y de suma del conjunto
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} módulo 7.
n
6. Hallar el resto de dividir 5 por 3 cuando
(a) n es par
(b) n es impar.
841 508 617
7. ¿Cuál es el dígito de las unidades de 13 + 17 + 24 ?
8. Construir las tablas de multiplicación y de suma del conjunto
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} módulo 8.
2 3 4
9. a) Hallar los restos módulo 3 de 10, 10 , 10 , 10 , ...
b) Si N es un número natural, podemos escribirlo como
2 3 n
N = a(0) + 10 a(1) + 10 a(2) + 10 a(3) + ... + 10 a(n).
Mostrar que N ð 0 (mod 3) es equivalente a
a(0) + a(1) + a(2) + ... + a(n) ð 0 (mod 3).
c) Hallar un criterio de divisibilidad por 9.
d) Mostrar que N ð 0 (mod 11) es equivalente a
n
a(0) - a(1) + a(2) - a(3) + ... +(-1) a(n) ð 0 (mod 11)
y hallar una condición para la divisibilidad por 11.
32
10. a) Hallar el resto módulo 641 de 2 .
32
b) Hallar el resto módulo 641 de 2 + 1 .
c) El famoso matemático Fermat conjeturó que todos los números de la for-
2ü
ma 2 + 1 eran primos. Explicar por qué los cálculos del inciso (b) mues-
tran que la conjetura era errónea.
11. El "Pequeño Teorema de Fermat" dice
p
Si p es primo entonces a ð a (mod p) para todo entero a. Verificar este teo-
rema para
a) a=2, p=3 b) a=11, p=2 c) a=5, p=7.
12. El número 341 es compuesto (341 = 11 . 31).
340
a) Hallar el resto de dividir 2 por 341.
b) Reflexionar sobre lo obtenido en a) en relación con el Pequeño Teorema
de Fermat.
10
13. a) Determinar el resto de dividir 10 por 7.
2 3 10
10 10 10 10
b) Determinar el resto de dividir 10 + 10 + 10 + ... + 10 por 7.
14. Considerar la sucesión a(1), a(2), a(3), ...
donde a(1) = 1, a(2) = 3, a(n) = a(n-1) a(n-2) para n > 2.
Hallar el resto de dividir a(514) por 11.
DESAFIO
¿Cuáles son los 2 últimos dígitos de
1995
a) 3
1995
b) 7
1995 1995 1995 1995
c) 3 + 7 y 7 - 3 ?
