R A M A V E R D E V I
PROGRESIONES ARITMETICAS
1, 2, 4, 8, ... es un ejemplo de "sucesión" de números. Los puntos
suspensivos indican que la sucesión continúa.
Cada número de una sucesión se llama "término". En nuestro ejemplo, el
primer término es 1, el segundo es 2 y el tercer término es 4.
La sucesión 1, 3, 5, 7, ... es un ejemplo de progresión aritmética.
Los términos de una sucesión están en progresión aritmética si la diferencia
entre dos términos consecutivos es siempre la misma (una constante).
En la sucesión 1, 3, 5, 7, ... tenemos
3 - 1 = 2
5 - 3 = 2
7 - 5 = 2
.........
Veamos más ejemplos de progresiones aritméticas
EJEMPLO 1:
1 2 3 4 5
* * * * * * * * *
* * * * * * * * * *
* * * * * * *
* * * *
7 asteriscos 10 asteriscos 13 asteriscos
La progresión 7, 10, 13, ... es aritmética. La diferencia entre los
términos consecutivos es 3. El primer término es 7. ¿Cuántos asteriscos habrá
en el séptimo diagrama? Es decir, ¿cuál es el séptimo término de la sucesión?
EJEMPLO 2
Los números naturales impares 1, 3, 5, 7, 9, ... están en progresión aritméti-
ca: la diferencia entre los términos consecutivos es 2. El primer término es 1.
EJEMPLO 3
Los múltiplos de 3 forman una progresión aritmética.
El primer término de una sucesión se denotará t(1), el segundo término de una
sucesión se denotará t(2) y así siguiendo, el n-ésimo término de la sucesión
se denotará t(n).
Si d es la diferencia (constante) entre términos consecutivos, o sea,
t(2) - t(1) = d
t(3) - t(2) = d
t(4) - t(3) = d
...............
t(n+1) - t(n) = d
La sucesión t(1), t(2), t(3), ... se puede escribir
t(1), t(1) + d , t(1) + 2 d , ......
el n-ésimo término es: t(n) = t(1) + (n-1) d
EJEMPLO 4
Hallar el término 17º y el término n-ésimo de la progresión aritmética n-ésimo
de la progresión aritmética
4, 7, 10, ...
En esta sucesión, t(1) = 4 y d = 3, luego
t(17) = 4 + (17-1).3 = 4 + 16.3 = 52
El n-ésimo término será
t(n) = 4 + 3(n-1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1
SUMA DE PROGRESIONES ARITMETICAS
Consideremos la suma de los primeros 10 números impares
____________
| ___ |
| | | |
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
| | |______________________| | |
| |_______________________________| |
|________________________________________|
La suma de cada par de números que hemos señalado es 20. Hay 5 de
estos pares, por lo tanto, la suma es 5.20 = 100.
Esta técnica se puede usar para hallar la suma de cualquier progresión
aritmética que tenga una cantidad par de términos:
_____________________________________________________________________
| |
t(1) + (t(1)+d) + (t(1)+2d) +...+ (t(1)+(n-3)d) + (t(1)+(n-2)d) + (t(1)+(n-1)d)
| |________________| |
|____________________________________________|
Veamos una técnica que permite sumar progresiones aritméticas sin im-
portar que la cantidad de términos sea par o impar.
Llamamos S(n) a la suma de los n primeros términos que queremos calcu-
lar.
S(n) = t(1) + (t(1)+d) + (t(1)+2d) + ... + (t(1)+(n-2)d) + (t(1)+(n-1)d)
Escribimos lo mismo pero invirtiendo el orden de los términos:
S(n) = (t(1)+(n-1)d) + (t(1)+(n-2)d) + ... + (t(1)+2d) + (t(1)+d) + t(1)
Sumamos miembro a miembro estas dos igualdades:
S(n) + S(n) = ( t(1) + t(1) + (n-1)d ) + ( t(1) + d + t(1) + (n-2)d ) + ...
... + ( t(1) + (n-1)d + t(1) )
2 S(n) = ( 2 t(1) + (n-1)d ) + ( 2 t(1) + (n-1)d ) + ... + ( 2 t(1) + (n-1)d )
2 S(n) = ( 2 t(1) + (n-1)d ) n
( 2 t(1) + (n-1)d ) n
S(n) = ----------------------
2
Observemos que ( 2 t(1) + (n-1)d ) = t(1) + ( t(1) + (n-1)d ) es la
suma del primer término más el n-ésimo término.
EJEMPLO 5
Hallar la suma de los primeros 16 múltiplos de 5.
La sucesión es 5, 10, 15, ... t(1) = 5, d = 5, n = 16
La suma de los 16 primeros términos es
(2.5 + (16-1).5) 16
S(16) = -------------------- = 680
2
EJERCICIOS
1) Hallar el término 27º de la progresión aritmética 3, 11, 19, ...
2) Hallar la suma de los primeros 20 términos de la progresión aritmética
3, 11, 19, ....
3) (a) Hallar la suma de los primeros 5 números impares.
(b) Hallar la suma de los primeros 20 números impares.
(c) Hallar la suma de los primeros N números impares.
CONTINUARÁ.
