R A M A V E R D E I
Para empezar, nada mejor que resolver algunos problemas:
1) En los cuadrados mágicos, la suma de los números de cada fila, de cada
columna y de cada diagonal es constante.
Hallar A, B, C, D, E en el siguiente cuadrado mágico:
_____________
| 15 | A | 35 |
|----|---|----|
| 50 | B | C |
|----|---|----|
| 25 | D | E |
|-------------|
2) (a) ¿Qué par de números que no terminan en cero multiplicados entre sí dan
1 000 000 000?
(b) ¿ y 1 000 000 000 000 000 000?
3) Hallar tres números consecutivos tales que la suma del primero con el ter-
cero dé 18.
4) ¿Cuál es el siguiente capicúa después de 14941?
5) ¿Qué número de dos cifras es igual al doble del producto de sus cifras?
6) Colocar los símbolos + , - , . , : para que sea cierta la igualdad:
6 __ 6 __ 6 __ 6 = 13
7) Un número primo positivo es aquél que sólo admite como divisores positivos
a 1 y a sí mismo. 1993 es primo. ¿Cuál es el próximo año primo?
8) ¿Cuál es el mayor número de tres cifras que tiene todas sus cifras primas?
9) Un número es perfecto si es la suma de todos sus divisores positivos (ex-
cluyéndose a sí mismo). 6 es perfecto pues 6 = 1 + 2 + 3. Hallar otro número
perfecto.
10) Dividir la esfera del reloj en tres partes por medio de dos rectas de mo-
do tal que la suma de los números en cada parte sea la misma.
12
11 1
10 2
9 3
8 4
7 5
6
11) Se usaron 642 dígitos para numerar las páginas de un libro. ¿Cuántas pági-
nas tiene el libro?
12) Colocar un dígito en cada casilla de manera que el número de la primera
casilla indique la cantidad de ceros del total de casillas, el de la segunda
la cantidad de unos, el tercero la cantidad de dos,..., el décimo la cantidad
de nueves.
_______________________________________
| | | | | | | | | | |
|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Si tuviste suerte con los anteriores, te proponemos
DESAFIO 1
ABCDE es un número entero cuyos dígitos son A, B, C, D y E. Formamos
dos números de seis dígitos
(a) colocando 1 al final del número anterior: ABCDE1
(b) colocando 1 al principio del número anterior: 1ABCDE
Hallar el número de cinco dígitos ABCDE tal que
1ABCDE
x 3
--------
ABCDE1
DESAFIO 2
45 es el menor número entero positivo que se puede expresar como suma
de enteros positivos consecutivos de 5 formas distintas:
45 = 22 + 23
= 14 + 15 + 16
= 7 + 8 + 9 + 10 + 11
= 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
(a) 105 es el menor entero positivo que se puede expresar como suma de enteros
positivos consecutivos de 7 formas distintas. Hallar esas 7 formas.
(b) Hallar el menor entero positivo que se puede expresar como suma de enteros
consecutivos de 3 formas distintas.
(c) ¿Cuál es la menor cantidad de enteros positivos consecutivos que sumados
dan 1000 y cuáles son dichos enteros?
R A M A V E R D E I I
ATENCION: EN ESTA ENTREGA, CUANDO DECIMOS NUMEROS, QUEREMOS DECIR NUMEROS
ENTEROS POSITIVOS.
PRIMOS Y COMPUESTOS
Pablo inventó un código secreto: A es el menor número que tiene un
solo divisor, B es el menor número que tiene 2 divisores, C es el menor núme-
ro que tiene 3 divisores, etc.
número Divisores
A <----> 1 1
B <----> 2 1, 2
C <----> 4 1, 2, 2²
D <----> 6 1, 2, 3, 6
2 3 4
E <----> 16 1, 2, 2 ,2 ,2
.............................................
2 12 2 12
Y <----> 12288 1, 2, 2 ,...2 , 3, 3.2 ,3.2 ,...,3.2
Z <----> 900 1, 2, 2², 3, 3², 5, 5², 2.3, 2.3²,
2.5,...., 2².3².5²
¿Te animás a completar la tabla de códigos de las 27 letras?
DIVISORES Y PRIMOS
Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6.
Los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28.
Los divisores de 7 son 1 y 7.
Un número a es divisor del número b si existe un número k tal que b = a.k .-
Un número es PRIMO si sólo admite dos divisores: el 1 y el propio número.
Los primos menores que 100 son en total 25:
2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - 29 - 31 - 37 - 41 - 43 - 47 - 53 - 59
61 - 67 - 71 - 73 - 79 - 83 - 89 - 97.
Para decidir que un número n es primo basta considerar los números menores que
_
¹n y verificar que ninguno de ellos es divisor de n.
_
Por ejemplo, si n = 97 tenemos 9 < ¹n < 10
Hay que ver si 97 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Sin embargo, no hace falta probar los que no son primos, por lo tanto basta
probar con 2, 3, 5 y 7.
Ninguno de estos 4 números es divisor de 97.
Podemos afirmar entonces que 97 es primo.
HAY INFINITOS PRIMOS
COMPUESTOS
Un número m se llama compuesto si se puede expresar como producto de otros dos
números a y b, mayores que 1 y menores que m: m = a.b
Por ejemplo: 3 2
72 = 8 . 9 = 2 . 3
77 = 7 . 11
1190 = 34 . 35 = 17 . 2. 5 . 7
4 3
2000 = 16 . 125 = 2 . 5
Esta manera de expresar un número compuesto en términos de sus factores primos
se llama "descomposición en primos".
Cada número tiene una única descomposición en primos. ¿Te acordás como hallar
la descomposición en primos?
Para 24192: 24192 | 2
12096 | 2
6048 | 2
3024 | 2
1512 | 2
756 | 2
378 | 2
189 | 3
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |
7 3
Por lo tanto, 24192 = 2 . 3 . 7
Usaremos la descomposición en primos para determinar la cantidad de divisores
que tiene 24192.
Podríamos hacer una lista sistemática:
0 1 2 3 4 5 6 7
2 2 2 2 2 2 2 2
---------------------------------------------------------------------------
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 .7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
3 .7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
3 .7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 .7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7 3 . 7
2 0 2 0
3 .7 3 . 7 ...........
2 1 2 1
3 .7 3 . 7 ...........
3 0 3 0
3 .7 3 . 7 ...........
3 1 3 1
3 .7 3 . 7 ...........
Esto cubre todas las combinaciones, así que 24192 tiene
8 . 4 . 2 = 64 divisores.
Una manera más fácil de hacer lo mismo:
7 3
24192 = 2 . 3 . 7
7 2 3 4 5 6 7
2 tiene 8 divisores (que son 1, 2, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 y 2 )
3 2 3
3 tiene 4 divisores (que son 1, 3, 3 y 3 )
7 tiene 2 divisores (que son 1 y 7)
Entonces 24192 tiene 8 . 4 . 2 = 64 divisores.-
A EJERCITAR!
1. Dar la descomposición en primos de 362880.
2. Dar la descomposición en primos de 135135.
4
3. (a) ¿Cuáles son los divisores de 16 = 2 , contando el 1 y el 16?
(b) ¿Cuántos divisores tiene 16?
8
(c) ¿Cuáles son los divisores de 256 = 2 ?
(d) ¿Cuántos divisores tiene 256?
(e) ¿Cuáles son los divisores de 2ü ?
3
4. (a) ¿Cuáles son los divisores de 125 = 5 ?
(b) ¿Cuántos divisores tiene 5ü ?
5. (a) Dar la descomposición en primos de 128000?
(b) ¿Cuántos divisores tiene?
3 4 3 2
6. La descomposición en primos de un numero es 2 . 3 . 5 . 7
¿Cuántos divisores tiene el número?
7. 2 y 3 difieren en 1 y ambos son primos. ¿Cuál es el siguiente par de
números con las mismas propiedades?
8. Hallar un número primo que sea igual a un cuadrado perfecto menos 1. ¿Hay
otro?
R A M A V E R D E I I I
9) ¿Cuál es el menor número de 3 dígitos que tiene entre sus divisores primos a
a los 3 primeros números primos y a los 3 primeros números compuestos?
10) ¿Qué números tienen una cantidad impar de divisores?
11) 25 = 5² es un cuadrado perfecto
49 = 7² es un cuadrado perfecto
3
27 = 3 es un cubo perfecto
5
32 = 2 es una potencia quinta perfecta
(a) Sea n un cuadrado perfecto y su descomposición en primos:
a(1) a(2) a(k)
n = p(1) . p(2) . ... .p(k) , con p(1), p(2),...,p(k) primos.
¿qué característica tienen en común a(1), a(2),..., a(k)?
Sugerencia: mirar ejemplos como 25, 36, 100, 144, 196
(b) Sea m un cubo perfecto cuya descomposición en primos es
b(1) b(2) b(k)
m = p(1) . p(2) . ... .p(k) , con p(1), p(2),...,p(k) primos
¿Qué característica tienen los números b(1), b(2), ... , b(k)?
Sugerencia: observar algunos cubos perfectos, como 1000, 216,...
(c) Hallar el menor número n tal que n/2 es un cuadrado perfecto y n/3 es un
cubo perfecto.
(d) Hallar el menor número n tal que n/2 es un cuadrado perfecto, n/3 es un
cubo perfecto y n/5 es una potencia quinta perfecta.
12) Un número tiene exactamente 8 divisores, dos de ellos son 35 y 77. ¿Cuál
es el número?
13) Hallar el menor número que tenga como divisores a 2, 3, 7, 10, 15, 20, 21
y 28.
14) Un número "desnudo" es aquel cuyos dígitos son todos divisores del número.
Hallar todos los números desnudos de 3 dígitos que no tienen dígitos
repetidos.
15) Elegir un número de 3 dígitos. Repetirlo para obtener uno de 6 dígitos.
Demostrar que el número de 6 dígitos tiene a 7, 11 y 13 como divisores. ¿Por
qué?
16) Hallar el menor número de 5 dígitos pares y distintos que tiene como divi-
sor a 16.
17)a) Hallar el mayor número de 4 dígitos que tiene exactamente 3 divisores,
contando el 1 y el propio número.
b) De los números menores que 200, hallar los que tienen exactamente 3 di-
visores (contando al 1 y al propio número).
DESAFIO 3
(a) Hallar el mayor número de 5 dígitos que tiene exactamente 3 divisores
(contando al 1 y al propio número).
(b) (i) Hallar el mayor número de 3 dígitos que tiene 10 divisores (contando
al 1 y al propio número).
(ii) Hallar el mayor número impar de 3 dígitos que tiene 10 divisores
(contando al 1 y al propio número).
R A M A V E R D E I V
MINIMO COMUN MULTIPLO
El mínimo común mútiplo de los números naturales m y n es el menor
número natural que es mútiplo de m y de n simultáneamente.
El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6.
El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12.
Nota: La factorización en primos resulta útil para hallar el mínimo común
mútiplo de dos números.
Por ejemplo: 2 3 4 2 2
1080 = 2 . 3 . 5 y 25200 = 2 . 5 . 3 . 7
Para hallar el mínimo común múltiplo, tomamos la mayor potencia de los primos
que aparecen en una u otra descomposición y los multiplicamos:
4 3 2
M C M = 2 . 3 . 5 . 7
La definición de mínimo común múltiplo se puede extender a más de dos
números. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de los números naturales m, n
y k es el menor múltiplo de m, n y k simultáneamente.
EJEMPLO 1: Hallar el mínimo común mútiplo de los diez primeros números natura-
les.
La factorización en primos de estos números es
2 = 2 3 = 3 4 = 2² 5 = 5 6 = 3.2
3
7 = 7 8 = 2 9 = 3² 10 = 2.5
Entonces su mínimo común mútiplo es: 3 2
2 . 3 . 5 . 7 = 2520..
EJEMPLO 2: Hallar el menor número que dividido por 3 tiene resto 1, dividido
por 4 tiene resto 2, dividido por 5 tiene resto 3 y dividido por 6 tiene resto
4.
Este número se puede obtener calculando el M C M de 3, 4, 5 y 6, que
e 60 = 3 . 2². 5. Observamos que la diferencia entre el divisor y el resto es
siempre 2 ( 3 - 1 = 4 - 2 = 5 - 3 = 6 - 4 = 2). Luego el número buscado es el
M C M menos 2, o sea, 58.
EJERCICIOS
1- Hallar el M C M de los siguientes grupos de números:
(a) 8, 12, 16 (b) 20, 30, 35 (c) 6, 8, 24, 30
2- Hallar el M C M de:
(a) los números del 6 al 10 (b) los números del 11 al 20
(c) los números del 1 al 20 (d) 585, 10985
3- Hallar el menor número tal que al dividirlo por 3, por 4 y por 5 siempre
tiene resto 1.
4- Cuatro barcos parten del puerto el 2 de enero de 1993.
El primer barco regresa al puerto cada 4 semanas, el segundo cada 8 semanas,
el tercero cada 12 semanas y el cuarto cada 16 semanas. ¿Cuándo se encuentran
por primera vez en el puerto?
5- Un número de 3 dígitos tiene la propiedad de que si se le resta 7 queda un
múltiplo de 7, si se le resta 8 queda un múltiplo de 8 y si se le resta 9
queda un múltiplo de 9. ¿Cuál es el número?
6- Dos luces intermitentes se encienden, una cada 14 segundos y la otra cada
6 minutos. ¿Cada cuánto tiempo se encienden juntas?
7- Pienso un número. El mínimo común múltiplo entre mi número y 9 es 45. ¿Cuál
puede ser mi número? (Hay tres posibilidades).
8- El menú del comedor universitario se repite cada 16 días y el menú de la
escuela X se repite cada 9 días. En ambos lugares hoy sirvieron pizza. ¿Den-
tro de cuántos días servirán los dos pizza simultáneamente?
DESAFIO 4
Un observador, desde su bote en la Bahía Bonita, ve en la noche las luces de
tres faros.
La roja parpadea cada 6 segundos, la blanca cada 10 segundos y la verde cada
14 segundos. Cada tanto, las tres parpadean al unísono.
(a) ¿Cada cuánto coinciden la roja y la verde?
(b) ¿Cada cuánto coinciden la verde y la blanca?
(c) ¿Cada cuánto coinciden la roja y la blanca?
(d) ¿Cada cuánto coinciden las tres?
El observador notó que a la medianoche la roja y la blanca coincidieron. Seis
segundos después coincidieron la verde y la roja.
(e) ¿Cuándo coincidirán las tres?
(f) ¿Cuándo coincidirán las tres a una hora exacta?
R A M A V E R D E V
MAXIMO COMUN DIVISOR Y ALGORITMO DE EUCLIDES
MAXIMO COMUN DIVISOR
6 es divisor común de 24 y 54.
3 es divisor común de 81 y 333.
El máximo común divisor de dos números naturales "a" y "b" es el MAYOR número
que divide tanto a "a" como a "b" y se denota (a,b). Por ejemplo:
Los divisores de 8 son 1, 2, 4, 8.
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12.
El máximo común divisor de 8 y 12 es 4. Es decir, (8,12) = 4
Consideramos los números 140 y 110. Sus descomposiciones en factores primos
son 140 = 2².5.7 y 110 = 2.5.11 , un divisor común de 140 y 110 debe tener
factores primos que estén en ambas descomposiciones. El exponente (potencia)
de cada uno de estos primos será el menor de los exponentes con que aparece en
la descomposición de 140 y 110. Luego, (140,110) = 2.5 = 10
Ejemplo 1: Hallar el máximo común divisor de 588 y 441.
Solución: 588 = 2².3.7² y 441 = 3².7²
(588,441) = 3.7² = 147
Dos números a y b son COPRIMOS ó RELATIVAMENTE PRIMOS si (a,b) = 1.
Por ejemplo, (39,17) = 1 y por lo tanto 39 y 17 son coprimos.
Si a/b es una fracción que no se puede simplificar, entonces (a,b) = 1.
EJERCICIOS
1. Hallar el máximo común divisor de cada uno de los siguientes pares de
números:
(a) 36 y 45 (b) 522 y 87 (c) 1024 y 118098
2. Si [m,n] denota el mínimo comúm múltiplo entre los números naturales m y n,
demostrar:
36 . 24 64 . 72
(a) [36,24] = --------- (b) [64,72] = ----------
(36,24) (64,72)
m . n
(c) Explicar por qué [m,n] = -------
(m,n)
3. (a) Determinar el máximo común divisor de los números p² - 1 , cuando p
recorre los valores 5, 7, 11, 13, 17, 19.
(b) Determinar el máximo común divisor de TODOS los números de la forma
p² - 1. (p > 4). ( Notar que p² - 1 = (p+1)(p-1) )
EL ALGORITMO DE DIVISION
Si n y q son números naturales, y n > q, podemos expresar a n como n = a.q + r
donde a es un entero positivo y r (el resto) es cero ó 0 < r < q.
Por ejemplo:
(a) 37 = 3 . 12 + 1 con n = 37, q = 3.
(b) 19 = 5 . 3 + 4 con n = 19, q = 5
Esto significa que siempre se puede expresar cualquier número como un múltiplo
de otro número fijo más un resto.
Por ejemplo, si q = 3, cualquier número n se puede escribir como 3.a, 3.a+1 ó
3.a+2.
Consideremos los números 19 y 5.
19 = 5 . 3 + 4
El máximo común divisor entre 19 y 5 COINCIDE con el máximo común divisor
entre 5 y 4.
(19,5) = (5,4) = 1.
Si queremos el máximo común divisor entre 1110 y 25:
1110 = 44 . 25 + 10
Entonces, (1110,25) = (25,10) = 5.
Estos dos ejemplos sugieren un método para hallar el máximo común divisor de
dos números. Se trata de aplicar reiteradamente el algoritmo de división y
usar que el máximo común divisor entre n y 0 es n.
Ejemplo: el máximo común divisor de 3542940 y 388800:
3542940 = 388800 . 9 + 43740 (1)
388800 = 43740 . 8 + 38880 (2)
43740 = 38880 . 1 + 4860 (3)
38880 = 4860 . 8 + 0 (4)
La ecuación (4) nos dice que 4860 es divisor de 38880. Entonces, por (3), 4860
es divisor de 43740. Por (2), 4860 también es divisor de 388800. Finalmente,
por (1), tenemos que 4860 es divisor de 3542940. Tenemos ya que 4860 es divi-
sor común de 3542940 y 388800.
Para ver que es el máximo, observamos que si d es un divisor común de
3542940 y 388800, entonces d debe ser divisor de 43740 ( por (1) ). En conse-
cuencia: d es divisor de 38880 ( por (2) ) y así siguiendo, hasta llegar a que
d es divisor de 4860. O sea, todo divisor común de 3542940 y 388800 es divisor
de 4860. Claramente, 4860 es el mayor.
EJERCICIO
4. Hallar el máximo común divisor de cada uno de los pares:
(a) 1156, 1394 (b) 1288, 1978 (c) 3104, 12520
DESAFIO
Al dividir los números 391758 y 394915 por cierto número de 3 dígitos se
obtiene en ambos casos el mismo resto, también de tres dígitos. ¿Por qué núme-
ro se ha dividido?
