R A M A R O J A X X V I I I

Analicemos ecuaciones diofanticas.

Ejemplo D3: Si x e y son enteros positivos tales que x + y + x y = 34, hallar x + y.

Primera solución:

Mirando el miembro izquierdo de la ecuación vemos que

x + y + x y = (x + 1) ( y + 1) - 1

Entonces nuestra ecuación se puede escribir como

(x + 1) ( y + 1) = 35.

Ahora, x e y son enteros, por lo tanto x + 1, y + 1 son enteros. Los factores positivos de 35 son 5 y 7, o 1 y 35. En nuestro caso, ni x + 1 ni y + 1 pueden valer 1. Entonces

x + 1 = 7

y + 1 = 5

o

x + 1 = 5

y + 1 = 7

Sumando las dos ecuaciones en cada uno de los sistemas obtenemos en ambos casos x + y = 10.

Segunda solución:

Podemos despejar una variable en función de la otra.

En nuestro caso, dada la simetría entre x e y, no importa cual de las dos elijamos.

x + y + x y = 34

x + x y = 34 - y

x ( 1 + y ) = 34 - y

34 - y
x = ---------
1 + y

Reemplazando y por valores enteros

y | 1 2 3 4 5 6 7 ...
--|-------------------------------------------------------------------
x | 33/2 32/3 31/4 50/5=6 29/6 28/7=4 27/8 ...

No hay mas valores enteros de x que sean positivos. Luego,

x + y = 6 + 4 = 4 + 6 = 10

es la única solución.

Si hubiésemos advertido la simetría entre x e y en la ecuación original y el hecho de que 29/6 < 5, podríamos haber detenido la tabla en y = 5, porque los demás valores se obtienen intercambiando x con y.

EJEMPLO D4: Katerina tiene ahorradas 20 billetes. Son de 10, de 20 y de 50 pesos y el valor total es 500 pesos. Si tiene mas billetes de 50 que de 10, ¿cuántos billetes de 10 tiene?

En primer lugar, obtengamos una ecuación. Si x es la cantidad de billetes de 50, y la cantidad de billetes de 20, entonces la cantidad de billetes de 10 es 20 - ( x + y ) porque tiene 20 billetes en total.

Como tiene en total 500 pesos, tenemos:

50 x + 20 y + 10 ( 20 - ( x + y ) ) = 500

5 x + 4 y + 20 - x - y = 50

4 x + y = 30

Tenemos aquí una típica ecuación diofantica en la que solo nos interesan las soluciones enteras positivas pues x e y representan cantidades de cosas (billetes).

Expresamos y en términos de x:

y = 30 - 4 x.

Vemos que no puede ser x = 1, 2, o 3 pues hecha la sustitución nos daría que hay mas de 20 billetes de 50.

Listamos las posibilidades:

50 ( x ) 20 ( y ) 10

--------------------

4          14      2 (*)

5          10      5

6           6      8

7           2     11

De nuevo no hay solución para x > 7 pues seria y negativo. Hay cuatro maneras de sumar 500. Pero además tenemos que hay mas billetes de 50 que de 10. La fila llamada con (*) es la única posible y nos da la única solución. 4 billetes de 50, 14 de 20 y dos de 10.

EJERCICIO D5

Un comerciante compra 40 lapiceras de 3 clases distintas a 40 pesos en total. Si las lapiceras cuestan 25 centavos, 1 peso y 5 pesos cada una y hay mas de 1 peso que de 5 pesos. ¿Cuantas de 25 centavos compró?

EJERCICIO D6

Hay una oferta de artículos X, Y y Z. Los artículos X se venden a 8 por 1 peso. Los artículos Y se venden a 1 pesos cada uno y los artículos Z se venden a 10 centavos cada uno. Mingo compra 100 artículos a 100 pesos. ¿Cuántos artículos Y compro?