R A M A   R O J A   X X V I I





                           ECUACIONES DIOFANTICAS





        Las ecuaciones diofanticas deben su nombre al famoso matematico grie-

go Diofanto de Alejandria (año 275 aprox.) que publico tres trabajos sobre lo

que hoy en dia denominamos algebra y resolucion de ecuaciones. He aqui la his-

toria de su vida segun se contaba en el siglo V:  su infancia duro 1/6 de su

vida, 1/12 despues le crecio la barba, 1/7 despues se caso, 5 años despues na-

cio su hijo; el hijo vivio hasta la mitad de la edad que su padre y el padre

murio 4 años despues que el hijo.

        Esta es una ecuacion diofantica y significa que se caso a los 33 años y

murio a los 84 años.

        Se llama ecuacion diofantica a cualquier ecuacion, generalmente de va-

rias variables, que aparece en un problema en el que las soluciones deben ser

enteras.

        Una tal ecuacion es x + y = 5

Esta ecuacion tiene infinitas soluciones en los numeros reales. Como regla ge-

neral, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen res-

tricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño numero de casos e incluso

a una unica solucion.

Por ejemplo, en nuestra ecuacion, si restringimos los posibles valores de x e

y a los enteros no negativos, tenemos 6 soluciones para (x,y):

        (0,5)   (1,4)   (2,3)   (3,2)   (4,1)  y  (5,0).

Cada uno de estos pares es una solucion de la ecuacion. Las restricciones en

las que las soluciones deben ser enteros positivos aparecen en problemas prac-

ticos en los que las variables x e y representan cantidades de objetos. En es-

tos casos, se procede a listar sistematicamente las posibles soluciones y lue-

go se selecciona la que satisface algun criterio adicional.

        No hay una formula que resuelva cualquier ecuacion diofantica, tal co-

mo ocurre con la ecuacion de segundo grado. Sin embargo, podemos desarrollar

metodos y usualmente necesitaremos ademas algun otro aspecto del contexto del

problema para determinar completamente el resultado.



EJEMPLO D1: Hallar el menor entero positivo que tiene resto 1 en la division

por 6 y tiene resto 6 en la division por 11.

        El numero buscado tiene resto 1 en la division por 6, esto quiere de-

cir que es de la pinta 6m + 1 para algun entero m no negativo. Asi se generan

las posibilidades: 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, ...

        Analogamente, los enteros positivos que tienen resto 6 en la division

por 11 son: 6, 17, 28, 39, 50, 61, ...

        El menor numero que es comun a las dos listas es 61.

 

Notemos que lo que se hizo fue hallar una solucion de la ecuacion diofantica

        6m + 1 = 11n + 6,       o sea,   6m - 11n = 5;

esta ecuacion tiene muchas soluciones. Con m=10 y n=5 obtenemos nuestra solu-

cion 61.

 

EJERCICIO D2: ¿Cual es el menor entero positivo que tiene resto 5, 1 y 1 en

la division por 3, 5, y 7 respectivamente?