R A M A R O J A X X I X
OTRAS TÉCNICAS
Consideramos el siguiente problema:
D7. Una solución en los enteros positivos de la ecuación
19 x + 83 y = 1983
es (x,y) = (100,1).
Hay solo otro par de enteros positivos (x,y) que satisfacen la ecuación, ¿cuál
es ese par?
Si bien hay métodos alternativos, a veces mas cortos, para resolver
casos particulares (veremos uno en la alternativa 2) Euclides desarrollo una
técnica general. Ese método es el siguiente:
Alternativa I
19 x + 83 y = 1983
19 x = 1983 - 83 y
1983 - 83 y 7 - 7y
x = ------------- = 104 - 4y + --------
19 19
7 - 7y
Es decir, x = 104 - 4y + u, con u entero, u = --------
19
Por lo tanto, 7y + 19 u = 7.
Tenemos ahora una nueva ecuación diofantica, similar a la original, pero con
coeficientes mas pequeños.
Si reiteramos el procedimiento
7 y = 7 - 19 u
7 - 21 u 2 u 2 u
y = --------- + ----- = 1 - 3u + ----- = 1 - 3 u + v
7 7 7
2 u
con v entero, v = -----.
7
2 u - 7 v = 0
v
Es decir, u = 3 v + --- = 3 v + w, con v = 2w.
2
Sustituyendo obtenemos
u = 3 v + w = 6 w + w = 7 w
y = 1 - 3 u + v = 1 - 21 w + 2 w = 1 - 19 w
x = 104 - 4y + u = 104 - 4(1-19w) + 7 w = 100 + 83 w.
O sea, (x,y) = (100 + 83 w, 1 - 19 w) con w entero arbitrario.
Esta formula da todas las soluciones enteras de la ecuación original.
En nuestro problema tenemos la restricción de que x e y deben ser enteros po-
sitivos. Los únicos valores posibles de w son w = 0, w = -1.
Los únicos valores posibles de (x,y) son
(100,1) y (17,20).
El par que estabamos buscando es (17,20)
Nota: hemos desarrollado un procedimiento general que puede aplicarse para en-
contrar la solución general de ecuaciones similares a la planteada.
Alternativa 2:
En este problema podríamos haber utilizado un atajo, aprove-
chando otra técnica que desarrollo Euclides.
Como una solución de 19 x + 83 y = 1983 es (100,1),
1983 = 19 x + 83 y = 19 . 100 + 83 . 1 =
= 19 . 100 - 19.83 + 83.1 + 19.83 =
= 19 . (100-83) + 83 . (1 + 19) =
= 19 . 17 + 83 . 20
y obtenemos una segunda solución (17,20).
Parece un truco de magia y en cierto sentido, lo es, pero recordemos que el
gran problemista George Polya dijo que "un método es un artificio ingenioso
que se puede usar mas de una vez".
Esta técnica desarrollada en la Alternativa 2 se puede usar para obtener mas
soluciones de una ecuación diofantica de tipo del problema cuando ya se conoce
alguna.
La clave es que si nos dieron una solución entera (x,y) de la ecuación
a x + b y = c
sumamos múltiplos de ab a uno de los términos y los restamos del otro. De este
modo obtenemos nuevas soluciones.
En el ejemplo, restamos 19.83 del termino 19.100 y lo sumamos al termino 83.1.
Ese resultado sigue siendo 1983 y así obtuvimos la solución (17,20).
Si hubiésemos sumado 19.83 al primer termino y lo restábamos del segundo, ten-
diríamos la solución (183,-18), que no satisface la restricción de este proble-
ma: x e y son enteros positivos.
EJERCICIOS:
D8. ¿Cuantas soluciones enteras positivas tiene la ecuación 3x + 5y = 1008?
D9. Si x e y son enteros tales que 2 2
( x - 2 ) + 2 y = 27
¿cuáles son los posibles valores de x ?
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