R A M A   R O J A   X I X







MAS EJERCICIOS DE APLICACION DE LA DESIGUALDAD ENTRE LA MEDIA GEOMETRICA Y LA

 

                          MEDIA ARITMETICA





5. Se dibuja   x y = k    y        y = x  ,   en ambos casos, sólo para los

valores positivos de x e y. Se toman 2 puntos en x y = k :   P = (a,b)  y

P' = (b,a)

                                      |.                /

 (i) Explicar por qué el punto medio  |               /   y=x

     M de PP' está en y = x           |             /

 (ii) Hallar las coordenadas de M     | .P        /

      en términos de a y b.           |    \    /

 (iii) Hallar las coordenadas del     |      \/M

       punto R en el que se interse-  |   . /  \

       can xy = k   y   y = x.        |   /R .   \

 (iv) ¿Qué conclusiones se puede      | /           .P'        . xy = k

      sacar?                        -------------------------------------->





6) Dos esferas de centros O1 y O2 y radios r1 y r2 están apoyadas sobre una

mesa y se tocan en el punto P (los puntos de contacto entre las esferas y la

mesa son A y B).

                       O1

                       |       .

                       |             P   .

                      N|________________________O2

                       |                        |

                       |                        |

                  _____|________________________|_______________

                       A                        B

i) Explicar por qué O1, P y O2 están alineados.

ii) Si O2 N es perpendicular a O1 A, ¿cuál es la longitud de

        (a)  O1 O2      (b) O1 N        (c) O2 N

en función de r1 y r2?

                             _____

ii) Deducir que r1 + r2 _ 2 ¹r1.r2

¿Qué se puede decir de las esferas cuando vale la igualdad?



7*. La desigualdad ma - mg  se puede generalizar así:

Si a1, a2, ..., an son no negativos,

         a1 + a2 + ... an     n ________________

        -------------------  _ ¹ a1.a2. ... .an

                n

usar esta desigualdad para explicar por qué, si a, b son positivos y n es na-

tural entonces

      a + 2b   3 ____

(i)  -------- _ ¹a.b²

        3

       a + nb      n+1____

(ii)  --------  _    ¹a.bü

        n+1



       n+1   n ___

(iii)  --- _  ¹n!

        2

8* . Demostrar que si a, b, c son positivos y distintos,

                bc (b+c) + ca (a+c) + ab (a+b) > 6 abc.