R A M A R O J A X V I I I
LA DESIGUALDAD ENTRE LAS MEDIAS ARITMETICA Y GEOMETRICA
Hemos visto que para x, y no negativos:
1 ____
--- ( x + y ) _ ¹ x y
2
1
--- ( x + y ) se llama la media aritmética (m a) de x e y.
2
____
¹ x y se llama la media geométrica (m g) de x e y.
Ejemplos:
La m a de 4 y 9 es 6,5.
La m g de 4 y 9 es 6.
Esta desigualdad se extiende a más de dos números. Así:
1 2
La m a de 4, 6, 9 es --- ( 4 + 6 + 9 ) = 6 --- .
3 3
3 _____
La m g de 4, 6, 9 es ¹4.6.9 = 6
En general, si x, y, z son positivos
1 3_______
--- ( x + y + z ) _ ¹ x y z
3
EJERCICIOS:
1) (i) Mostrar que la m a de 6, 7, 8 es mayor que la mg de 6, 7, 8.
(ii) Mostrar que
4 + 7 + 9 + 13 4 _________
-------------- > ¹ 4.7.9.13
4
2) Mostrar que para números positivos a, b, c, d:
i) (a+b)(b+c)(c+a) _ 8 abc
ii) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) _ 16 abcd
3) Demostrar que 4
a + b x _____
----------- _ ¹ a b (a, b positivos)
x²
4
a + b x
¿Para qué x el valor de ----------- es mínimo?
x²
4) Verificar la identidad:
3 3 3 2 2 2
a + b + c = (a+b+c) (a + b + c - bc - ac - ab) + 3 abc
y usarla para demostrar que si a, b, c son no negativos
3 3 3
(i) a + b + c _ 3 abc
3 ______
(ii) x + y + z _ 3 ¹ x y z
