R A M A R O J A X V I I I LA DESIGUALDAD ENTRE LAS MEDIAS ARITMETICA Y GEOMETRICA Hemos visto que para x, y no negativos: 1 ____ --- ( x + y ) _ ¹ x y 2 1 --- ( x + y ) se llama la media aritmética (m a) de x e y. 2 ____ ¹ x y se llama la media geométrica (m g) de x e y. Ejemplos: La m a de 4 y 9 es 6,5. La m g de 4 y 9 es 6. Esta desigualdad se extiende a más de dos números. Así: 1 2 La m a de 4, 6, 9 es --- ( 4 + 6 + 9 ) = 6 --- . 3 3 3 _____ La m g de 4, 6, 9 es ¹4.6.9 = 6 En general, si x, y, z son positivos 1 3_______ --- ( x + y + z ) _ ¹ x y z 3 EJERCICIOS: 1) (i) Mostrar que la m a de 6, 7, 8 es mayor que la mg de 6, 7, 8. (ii) Mostrar que 4 + 7 + 9 + 13 4 _________ -------------- > ¹ 4.7.9.13 4 2) Mostrar que para números positivos a, b, c, d: i) (a+b)(b+c)(c+a) _ 8 abc ii) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) _ 16 abcd 3) Demostrar que 4 a + b x _____ ----------- _ ¹ a b (a, b positivos) x² 4 a + b x ¿Para qué x el valor de ----------- es mínimo? x² 4) Verificar la identidad: 3 3 3 2 2 2 a + b + c = (a+b+c) (a + b + c - bc - ac - ab) + 3 abc y usarla para demostrar que si a, b, c son no negativos 3 3 3 (i) a + b + c _ 3 abc 3 ______ (ii) x + y + z _ 3 ¹ x y z