R A M A   R O J A   X V I I I





           LA DESIGUALDAD ENTRE LAS MEDIAS ARITMETICA Y GEOMETRICA





        Hemos visto que para x, y no negativos:

                 1               ____

                --- ( x + y ) _ ¹ x y

                 2

  1

 --- ( x + y ) se llama la media aritmética (m a) de x e y.

  2

      ____

     ¹ x y     se llama la media geométrica (m g) de x e y.

 

Ejemplos:

          La m a de 4 y 9   es 6,5.

          La m g de 4 y 9   es 6.



Esta desigualdad se extiende a más de dos números. Así:

                      1                     2

La m a de 4, 6, 9 es --- ( 4 + 6 + 9 ) = 6 --- .

                      3                     3

 

                          3 _____

La m g de 4, 6, 9 es       ¹4.6.9  = 6





        En general, si x, y, z son positivos

                 1                  3_______

                --- ( x + y + z ) _ ¹ x y z

                 3



EJERCICIOS:

1) (i) Mostrar que la m a de 6, 7, 8 es mayor que la mg de 6, 7, 8.

(ii) Mostrar que

                              4 + 7 + 9 + 13   4 _________

                              --------------  > ¹ 4.7.9.13

                                    4

2)  Mostrar que para números positivos a, b, c, d:

i) (a+b)(b+c)(c+a) _ 8 abc

ii) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) _ 16 abcd

 

3) Demostrar que               4

                        a + b x        _____

                      -----------   _ ¹ a b     (a, b positivos)

                           x²

                                         4

                                  a + b x

¿Para qué x el valor de         -----------   es mínimo?

                                     x²

 

4) Verificar la identidad:

                 3   3   3             2   2   2

                a + b + c  = (a+b+c) (a + b + c - bc - ac - ab) + 3 abc

y usarla para demostrar que si a, b, c son no negativos

      3   3   3

(i)  a + b + c  _ 3 abc

 

                  3 ______

(ii) x + y + z _ 3 ¹ x y z

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