R A M A   R O J A  X V



EJEMPLO 3

        Si x, y son números reales, x distinto de y, demostrar que

                x²+ y² > 2xy

SOLUCION

        (x²+y²) - 2xy = (x-y)²> 0  para todo x, y reales y distintos entre sí.

Esta desigualdad es de mucha utilidad y se aplica en gran cantidad de situa-

ciones. Por ejemplo:            __

                    x + y  > 2 ¹xy   para x, y reales positivos distintos.

                     2   4        2                                2

                    x + y  > 2 x y   para x, y reales, x distinto de y .



EJERCICIOS 

1. ¿Bajo qué condiciones es x²+ y² = 2xy?

 

2. Demostrar que

        4   4     2 2

   (i) x + y _ 2 x y  para x,y reales.

  (ii) x²+ y² _ xy

                 __

 (iii) a + b _ 2¹ab  para a y b no negativos.

 

3. (i) Si a+b = 16, hallar el mayor valor de ab

  (ii) Si x²+ y² = 200, hallar el mayor valor de xy.

 

4. Demostrar que (a-b)²+ (b-c)²+ (c-a)² = 2(a²+ b²+ c²- ab - ac - bc) y por lo

tanto a²+ b²+ c² _ ab + ac + bc.

¿Bajo que condiciones se verifica la igualdad?

 

5. Si a es un número positivo, demostrar que  a + 1/a _ 2.

 

6. Si a, b son números positivos tales que a+b = 1 demostrar que

   (i) 1/a + 1/b _ 4

   (ii) a²+ b² _ 1/2

   (iii) (1+ 1/a)(1 + 1/b) _ 9

 

7. Si a,b son no negativos, demostrar que

    a²+ b²      a+b  ²

   ------- _  (-----)

      2          2

¿Bajo qué condiciones se verifica la igualdad?

 

                                                CONTINUARÁ