R A M A R O J A X I V
Algunas reglas que hay que tener en cuenta cuando se trabaja con desigualda-
des:
* Si a y b son números reales y a > b entonces
(i) a+c > b+c cualquiera sea el número real c.
(ii) a.c > b.c para cualquier c > 0.
(iii)a.c < b.c para cualquier c < 0.
(iv) a - b > 0.
* Para todo número real a, a²_ 0. Observamos que en consecuencia, para cuales-
quiera p y q reales, (pñq)²_ 0.
* Si b > 0 y a/b > 1, entonces a > b.
* Para demostrar que x > y podemos demostrar:
(i) x - y > 0
ó (ii) x/y > 1; si sabemos que y > 0.
A continuación, desarrollamos algunos ejemplos y después de cada uno
de ellos, te proponemos ejercicios de práctica.
EJEMPLO 1: Si x e y son enteros positivos y x es distinto de y, demostrar que
3 3 2 2
x + y > x y + x y
Solución:
3 3 2 2 2 2 2 2
x + y - (x y + x y ) = x (x-y) + y (y-x) = (x-y) (x - y ) = (x-y)(x+y)(x-y) =
2 2
= (x-y) (x+y) > 0 pues (x+y) y (x-y) son ambos positivos.
Por lo tanto
3 3 2 2
x + y > x y + x y .
EJERCICIOS
1. En el ejemplo anterior, ¿dónde utilizamos la condición x distinto de y?
2. Demostrar que
3 3 2 2
x - y _ x y - x y solo si x _ y.
5 5 4 4
3. Demostrar que x + y _ x y + x y para todos x e y positivos.
EJEMPLO 2: Si x > y > 0 entonces 4x(x+y) > x²- y².
Solución
4x(x+y) - (x²- y²) = 4x²+ 4xy - x²+ y² = 3x²+ 4xy + y² = (3x+y)(x+y) > 0 pues
ambos factores son positivos. Por lo tanto
4x(x+y) > x²- y².
Solución alternativa
4x(x+y) - (x²-y²) = 4x(x+y) - (x+y)(x-y) = (x+y)(4x-(x-y)) = (x+y)(3x+y) > 0 ,
etc.
EJERCICIOS:
1. Demostrar que si x > y > 0 entonces x(x-y) > y²- x².
2. Demostrar que si x > y > 0 entonces x (3y - x) < x²+ y².
3. Demostrar que 9x(x-y) _ y (3x-4y) para todos x,y.
CONTINUARÁ.
