R A M A   R O J A   X I I I



 

                               DESIGUALDADES



 Ejercicios introductorios



1) Sean a, b, c, d números reales tales que

                                           c > d,  a < d, a > b.

   Ordenarlos de menor a mayor.



2) Sean x, y, z números reales x > y > 0, z > 0. En cada ítem, reemplazar el

   asterisco *  por  > ,   <   ó   =  según corresponda.

        (i)  x + z    *   y + z

        (ii)  x z     *    y z

        (iii)   x²    *    y²

        (iv)   1/x    *   1/y



3) Reemplazar el asterisco  *  por >  ó < para que las afirmaciones sean ver-

   daderas.

        (i) Si x > y, z < 0  entonces   x + z  *  y + z.

        (ii) Si x > y, z < 0   entonces   x z  *  y z.

        (iii) Si x < y < 0   entonces     x²   *  y².

        (iv) Si 0 < x < 1, 0 < y < 1  entonces   x y * 1.

        (v) Si x > y   entonces    x - y  * 0.

        (vi) Si x > y > 0  entonces  x/y  *  1.



                                       3        2

        (vii) Si 0 < x < 1   entonces x    *   x .

 

        (viii) Si a, b son números reales entonces (a-b)²  *  0.



4) Sean a, b, c, d números reales tales que

        a > b

    c - d > b - a

    a + b = c + d

   Ordenar los números de menor a mayor.



5) Si a y b son números reales positivos y a+b = 20,

   (i) ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar a b ?

   (ii) ¿Cuál es el menor valor que puede tomar a b ?

   En cada caso, dar los valores correspondientes de a y b.

   ¿Cómo varía la respuesta si a y b son

   (a) enteros positivos?

   (b) reales no negativos?

   (c) reales?



6) Sea ABCD un rectángulo. Se traza el triángulo APQ con P en BC y Q en CD.

   Explicar por qué el área del triángulo APQ no supera la mitad del área del

   rectángulo ABCD.



7) (i) Sabiendo que a > b > 0  y c > d > 0, explicar por qué

         b      a+b     a

        ---  < ----- < --- .

         c      c+d     d

   (ii) Si a > b > c > 0   y  p > q > r > 0, escribir una desigualdad similar

   a la de (i) y justificarla.