R A M A R O J A X
SERIES ARITMETICAS
Las series del tipo 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... en las que cada término
aumenta (o disminuye) un valor fijo (en este caso 4) se llaman series aritmé-
ticas.
Para calcular S(n) = la suma de los n primeros términos, necesitamos
tener a(n). Para ello usamos la diferencia constante 4 y observamos que:
a(1) = 4.1 - 1 = 3
a(2) = 4.2 - 1 = 7
a(3) = 4.3 - 1 = 11
.................
a(n) = 4.n - 1
Para calcular S(n), observamos:
S(2) = 3 + 7 = 2 (3+7 )/2 = 10
S(3) = 3 + 7 + 11 = 3 (3+11)/2 = 21
S(4) = 3 + 7 + 11 + 15 = 4 (3+15)/2 = 36
S(5) = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 5 (3+19)/2 = 55
En general
S(n) = 3 + 7 + ... + (4.n-1) = n (4.n+2)/2 = n(2.n+1)
Sería tedioso repetir cada vez este razonamiento. Simplifiquémoslo:
Si a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n) es una serie aritmética, entonces
(i) la diferencia constante es a(2) - a(1) = a(3) - a(2) = ... = a(n) - a(n-1).
(ii) S(n) = n ( a(1) + a(n) ) / 2 , o sea n multiplicado por el promedio entre
el primero y el último término.
Ejemplos:
1. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 = 100 ( 100 + 1 ) / 2 = 5050
2. 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 52 = 17 (4 + 52 ) / 2 = 476
EJERCICIOS
1) Explicar por qué si a(1) + a(2) + ... + a(n) es una serie aritmética, en-
tonces a(1) + a(n) = a(2) + a(n-1) = a(3) + a(n-2) = ...
2) Hallar el término n-ésimo de las series
7 + 13 + 19 + 25 + ...
17 + 13 + 9 + 5 + 1 - 3 ...
3) Hallar la suma de las siguientes series
7 + 13 + 19 + 25 + ... + 115.
17 + 13 + 9 + 5 + 1 - 3 - ... - 107.
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99.
1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + ... + 1994 - 1995.
4) Hallar la suma de la serie de 100 términos
( 1 ) + ( 2 + 3 ) + ( 4 + 5 + 6 ) + ( 7 + 8 + 9 + 10 ) + ...
(el n-ésimo término es la suma de n números)
5) Si a, b, c, d es una sucesión aritmética tal que
a + b + c + d = 8
a d + b c = -2
Hallar a, b, c, d.
6) Para un libro de 49 páginas, probar que hay un valor de x tal que la suma
de los números de página antes de x es igual a la suma de los números de pági-
na después de x. Hallar x.
7) Mostrar que si k y n son enteros positivos, la suma de los enteros menores
que kn que no son divisibles por k es (1/2) k (k-1) n².
CONTINUARÁ
