R A M A R O J A I X
Si a(1), a(2), a(3), ... , a(n) es una sucesión de n números, entonces
la suma a(1) + a(2) + a(3) + ... a(n) se denomina serie.
a(1) es el primer término de la serie;
a(2) es el segundo término de la serie; ...
a(n) es el n-ésimo término de la serie.
Para esta serie, podemos usar dos notaciones:
n
S(n) = a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n) = ä a(i)
i=1
S(n) se denomina "suma parcial de n términos".
n
En ä a(i) la letra griega ä (sigma) indica "la suma de"; el subíndi-
i=1
ce i es una variable entre los dos extremos (1 y n) que se indican debajo y
arriba de ä. La expresión se lee "la suma de los a(i), con i recorriendo desde
1 hasta n".
EJERCICIOS
1 2 3 4 n
1) Si S(n) = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2
(i) ¿Cuál es el 10º término de la serie?
(ii) ¿Cuánto vale S(5)?
(iii) Expresa la serie con la notación de sigma.
2) Escribir en forma expandida:
4 2 5 i 7 2 4
(i) ä x(i) ; (ii) ä (-1) i ; (iii) ä i ; (iv) ä (i+2)(i+3)
i=1 i=1 i=1 i=1
n
3) Consideremos la serie S(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = ä i .
i=1
Completar la tabla que indica los valores de n y S(n).
n 1 2 3 4 5 6 7
--------------------------------------------------------------
S(n) 1 3 6 10 ....................
Hallar una regla para calcular S(n) en términos de n (Ayuda: buscar una regu-
laridad que vincule 2 números de la fila de arriba con un número de la fila
de abajo).
n-1 n-1 i
4) Consideramos S(n) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2 = ä 2
i=1
Tratemos de hallar una regla que calcule S(n). Para ello, completar:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
______________________________________________________________________--->
| | | | |
1 3 7 15 ...
Conjeturar la regla para todo n.
n-1
5) Consideramos S(n) = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + ... + 3 .
Conjeturar alguna regla para calcular S(n). Para ello, completar:
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ...
_______________________________________________________________________--->
| | | | |
1 4 13 40 ...
6) Hallar una fórmula que calcule n-1
S(n) = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 + ... + 4 .
7) Dar una fórmula que calcule
2 3 n-1 n-1 i
S(n) = 1 + r + r + r + ... + r = ä r
i=0
(Nota: Esta serie se conoce como SERIE GEOMETRIA. Tiene muchas aplicaciones y
es conveniente memorizarla.)
8) La forma general de la serie geométrica es
2 3 n-1
S(n) a + a.r + a.r + a.r + ... + a.r
donde a es el "primer término" y r es "la razón". Expresar esta suma en térmi-
nos de a, r y n.
9) La suma de los 10 primeros términos de una serie geométrica es 33 veces la
suma de los cinco primeros términos. Hallar la razón.
10) Se sabe que la suma de los n primeros términos de cierta serie geométrica
n
es 3 - 1 . Hallar los 4 primeros términos.
11*) Para hallar una fórmula que calcule S(n) cuando
2 n-1
S(n) = 1 + 2 x + 3 x + ... + n x
escribir 2 3 n-1 n
x S(n) = x + 2 x + 3 x + ... + (n-1) x + n x
y restar la primer igualdad menos esta última.
n n
Demostrar que S(n) = - ( x - 1) n x
------------ + --------
( x - 1 )² ( x - 1 )
(Nota: no intentes memorizar esta fórmula. Trabajá cada ejemplo individualmen-
te. Con un análisis similar al expuesto, demostrá que
n
1 + 11 + 111 + .... + 11...11 = (10/81) (10 -1) - n/9 .)
|_______|
n veces
