R A M A R O J A V I I
POLINOMIOS DETERMINADOS POR SUS VALORES
Consideremos los polinomios
2 3 4
f(x) = x , f(x) = x , f(x) = x , f(x) = x ;
sus valores en x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 se muestran en la siguiente tabla
x | 0 1 2 3 4 5
--------|---------------------------------------------------
|
f(x)= x | 0 1 2 3 4 5
2|
f(x)= x | 0 1 4 9 16 25
3|
f(x)= x | 0 1 8 27 64 125
4|
f(x)= x | 0 1 16 81 256 625
Formamos una TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS. En las dos primeras columnas pone-
mos los valores de x y de f(x), luego una columna de "primeras diferencias"
que rotulamos D1. El símbolo Dn es un operador que significa "tomar diferen-
cias n-ésimas". En cada ejemplo, tomamos diferencias D1, D2, D3, ... hasta
que la columna de diferencias se hace constante.
2
x | f(x) = x | D1 x | f(x) = x | D1 | D2
----|--------------|--------- ------|---------------|--------|-------
0 | 0 | 0 | 0 | |
1 | 1 | 1 1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 1 2 | 4 | 3 | 2
3 | 3 | 1 3 | 9 | 5 | 2
4 | 4 | 1 4 | 16 | 7 | 2
5 | 5 | 1 5 | 25 | 9 | 2
3
x | f(x) = x | D1 | D2 | D3
-----|----------------|-------|-------|-------
0 | 0 | | |
1 | 1 | 1 | |
2 | 8 | 7 | 6 |
3 | 27 | 19 | 12 | 6
4 | 64 | 37 | 18 | 6
5 | 125 | 61 | 24 | 6
n
Observamos que para f(x) = x , las n-ésimas diferencias son constantes. Esto
vale para cualquier polinomio de grado n.
EJERCICIOS
4
1) Mostrar que las diferencias cuartas para f(x) = x son constantes.
3 2
2) Construir la tabla de diferencias finitas para f(x) = x + x - x + 1 usando
x = 0, 1, 2, 3, 4.
Las tablas de diferencias finitas tienen numerosas aplicaciones en una
rama de la matemática que se llama Análisis numérico. Veremos una de ellas,
que consiste en obtener una fórmula general a partir de algunos valores aisla-
dos.
Antes de pasar a esta aplicación, necesitaremos ver algunas cositas.
Sean a(1), a(2), a(3), a(4), ..., a(n), ...
términos de una sucesión que tiene una fórmula determinada pero desconocida
para nosotros.
Construimos una tabla de diferencias, las b son las primeras diferencias, las
c las segundas diferencias, etc.
a(1) a(2) a(3) a(4) a(5) ...
b(1) b(2) b(3) b(4) ...
c(1) c(2) c(3) ...
d(1) d(2) ...
Es claro que si conocemos los valores de a(1), b(1), c(1), d(1), ... podemos
hallar (eventualmente) a(n):
a(2) = a(1) + b(1)
a(3) = a(2) + b(2) = ( a(1) + b(1) ) + ( b(1) + c(1) ) =
= a(1) + 2 b(1) + c(1)
a(4) = a(3) + b(3) = ( a(1) + 2 b(1) + c(1) ) + ( b(2) + c(2) ) =
= ( a(1) + 2 b(1) + c(1) ) + ( b(1) + c(1) ) + ( c(1) + d(1) ) =
= a(1) + 3 b(1) + 3 c(1) + d(1)
Si tenés ganas, podés verificar que
a(5) = a(4) + b(4) = a(1) + 4 b(1) + 6 c(1) + 4 d(1) + e(1)
a(6) = a(5) + b(5) = a(1) + 5 b(1) + 10 c(1) + 10 d(1) + 5 e(1) + f(1)
Los coeficientes son viejos amigos: los números del triángulo de Pascal.
En general:
n-1 n-2 n-1
a(n) = a(1) + ( ) b(1) + ( ) c(1) + ( ) d(1) + ...
1 2 3
Esta fórmula es de gran utilidad. Además de darnos una regla para generar la
sucesión a(n), sirve para calcular S(n) = la suma de los términos de la suce-
sión:
S(n) = a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n)
Veamos cómo se hace:
Agregamos una fila AL PRINCIPIO de la tabla de diferencias y queda una nueva
tabla:
0 S(1) S(2) S(3) S(4) .... S(n)
a(1) a(2) a(3) a(4) .... a(n)
b(1) b(2) b(3) .... b(n)
.............
S(1) = a(1)
S(2) = S(1) + a(2) = a(1) + ( a(1) + b(1) ) = 2 a(1) + b(1)
S(3) = S(2) + a(3) = ( 2 a(1) + b(1) ) + ( a(2) + b(2) ) =
= ( 2 a(1) + b(1) ) + ( a(1) + b(1) ) + ( b(1) + c(1) ) =
= 3 a(1) + 3 b(1) + c(1) =
y en general:
n n n n
S(n) = ( ) a(1) + ( ) b(1) + ( ) c(1) + ( ) d(1) + ...
1 2 3 4
EJEMPLO 1
Hallar
(i) Una fórmula que genere la sucesión 4, 10, 18, 28...
(ii) La suma de los n primeros términos de la sucesión
4 10 18 28
6 8 10
2 2
0
a(1) = 4 b(1) = 6 c(1) = 2 , d(1) = 0
Solución
n-1 n-1 n-1
(i) a(n) = 4 + ( ) 6 + ( ) 2 + ( ) 0 =
n 2 3
= 4 + 6 (n-1) + (n-1)(n-2) =
2
= n + 3 n
O sea, a(n) = n(n+3)
n n n n
(ii) S(n) = ( ) 4 + ( ) 6 + ( ) 2 + ( ) 0 =
1 2 3 4
= 4 n + 3 n (n-1) + 1/3 n (n-1) (n-2)
O sea, S(n) = 1/3 n (n+1) (n+5)
EJEMPLO 2
Hallar una fórmula para generar la sucesión
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
La tabla de diferencias tiene un comportamiento diferente al que hemos visto
hasta ahora.
1 1 2 3 5 8 13 21 34 ...
0 1 1 2 3 5 8 13 ...
1 0 1 1 2 3 5 ...
Esta es la sucesión de Fibonacci. Observamos que la sucesión reaparece en las
filas de la tabla de diferencias. Esta sucesión está generada por las fórmulas
de recursión:
a(1) = 1, a(2) = 1, a(n+2) = a(n+1) + a(n) si n es mayor o igual que 1.
Notar que
a(3) = a(2) + a(1) = 2 ( para n = 1 )
a(4) = a(3) + a(2) = 3 ( para n = 2 )
y con estas fórmulas podemos generar la sucesión.
Este ejemplo no tiene la intención de confundir, si no de ilustrar que
(i) No todas las sucesiones se pueden generar con polinomios.
(ii) Las sucesiones generadas por polinomios alcanzan en algún momento
una fila de diferencias que es constante.
CONTINUARÁ
