R A M A   A Z U L   X X X I I I







        Los problemas propuestos en la entrega anterior pueden ser resueltos

usando una misma estrategia. Fijemos nuestra atenci˘n en el punto a) del

problema:

¿De cuantas maneras pueden bajarse 10 paquetes (iguales) en 12 pisos?

        Se trata pues de distribuir elementos iguales o indistinguibles (10

paquetes iguales) en cajas (12 pisos). Por ejemplo



        Piso 1 | *                      |

        Piso 2 | *                      |              10 objetos en

        Piso 3 |                        | **           12 cajas

          .    | ***                    |

          .    |                        | *

          .    |                Piso 12 | **





        Podemos representar esta situacion en la forma siguiente:



        * | * | | *** | | | | | * * | | * | ** |



denotando las cajas (pisos) con  |   y con * a la izquierda los objetos (pa-

quetes) que hay en esa caja. Asi, con esta representacion, si ponemos



        ** | ** | | | **** | | | | | | | ** |

           1    2          5                12



quiere decir que en el piso 1 hay 2 paquetes, en el piso 2 hay 2 paquetes, en

el piso 5 hay 4 paquetes y en el piso 12, 2 paquetes. Los demas estan vacios.

Observemos que en cualquier otro ejemplo que hagamos el esquema siempre termi-

na en una barra (|) que representa la ultima caja (piso). Entonces no es nece-

sario escribirla:



        ** | ** | | | **** | | | | | | | **  

                2          5                  



Este esquema describe sin ambigedades el ejemplo anterior.

        Con esta representacion reducimos el problema a contar de cuantas ma-

neras se pueden distribuir 11 barras (una menos que los pisos) iguales y 10 

puntos (paquetes) iguales entre si.

        Si recordamos como contabamos los anagramas (pensar en | y * como dos

letras) este numero es

                          (10 + 11)!      10+11     10+11

                        ------------- = (      ) = (     )

                           10! 11!         10         11

        

        Esta tecnica para contar distribucion de objetos indistinguibles entre 

si en celdas o cajas suele llamarse "bosones" por sus aplicaciones en la Meca-

nica Estadistica desarrollada por Einstein-Bose(de alli el nombre de bosones).



PROBLEMAS



1) ¿De cuantas maneras pueden repartirse 30 puntos en un examen con 8 proble-

mas?

a) Idem con la condicion de que cada problema valga por lo menos 2 puntos.



2) ¿De cuantas maneras es posible descomponer el numero 40 como suma de

a) 10 sumandos enteros no negativos?

b) 10 sumandos naturales?

c) k sumandos naturales? ¿Que valores son admisibles para k?



3) a) ¿En cuantas formas pueden distribuirse 8 palomas y 9 canarios en 10 jau-

las?

b) ¿En cuantas formas pero tal que no haya 2 palomas en la misma jaula.