R A M A A Z U L X X X I I
COMBINATORIA (continuacion)
ALGUNAS FORMULAS QUE NOS SERAN UTILES
En ramas anteriores, nos hemos encontrado con la necesidad de contar
muestras ordenadas de tamaño k tomadas entre n elementos. Se llaman tambien
variaciones de n elementos tomados de k en k ( y son V n,k ).
Se tiene que V n,k = n x (n-1) x (n-2) x .... x (n-k+1)
|________________________________|
|
k factores
Multiplicando numerador y denominador por (n-k)! (factorial de (n-k) ), ob-
tenemos la expresion:
n x (n-1) x (n-2) x .... x (n-k+1) x (n-k) x (n-k-1) x ... x 1 n!
V n,k = -------------------------------------------------------------- = ----
(n-k) x (n-k-1) x ... x 1 (n-k)!
(0! = 1)
En la rama azul XXX, comenzamos a resolver problemas donde aparecia la
necesidad de contar muestras no ordenadas (o subconjuntos) de k elementos ele-
gidos entre n. Se llaman combinaciones de n elementos tomados de k en k; la
cantidad de dichas combinaciones es C n,k. Vimos, en aquella ocasion, que vale
la relacion
V n,k n!
C n,k = ------- = ---------
k! (n-k)! k!
n
A este ultimo se lo conoce como numero combinatorio ( ) .
k
Apliquemoslo en la resolucion de los problemas del envio XXX: "se cuenta con
16 jugadores de futbol, de los cuales solo 3 pueden desempeñarse como arque-
ros. ¿Cuantos equipos pueden formarse que incluyan al menos uno de los posi-
bles arqueros?"
Daremos dos soluciones, y una tercera "pseudo-solucion".
SOLUCION 1: Consiste en separar el conjunto de todos los equipos que incluyen
a por lo menos uno de los arqueros, en tres: A, B y C.
A: esta formado por los equipos que tienen exactamente un arquero:
Se puede poner a cualquiera de los tres arqueros: hay
3 13
( ) = 3 formas de elegirlo. Hecho esto, hay ( ) formas de elegir a los
1 10
restantes 10 jugadores entre los 13 que no son arqueros.
3 13
En total, hay ( ) x ( ) equipos en A.
1 10
3 13
B: equipos que tienen exactamente a 2 de los arqueros. Son ( ) x ( ) pues
2 9
hay: 3 13
( ) maneras de elegir los dos arqueros entre los tres, y ( ) for-
2 9
mas de elegir los restantes jugadores.
13
C: equipos que tienen exactamente tres arqueros. Son 1 x ( ) pues hay:
8
3 13
( ) = 1 forma de elegir a los tres arqueros y ( ) maneras de elegir a los
3 8
restantes 8 jugadores. Sumando las cantidades de equipos en A, B y C, se ob-
tiene la cantidad buscada:
3 13 3 13 3 13
( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 858 + 2145 + 1287 = 4290
1 10 2 9 3 8
SOLUCION 2: Consiste en restar del total de equipos de 11 jugadores elegidos
13
entre 16, a aquellos que no tienen ningun arquero. ( estos son ( ) ). Asi,
16 13 11
el total se obtiene como ( ) - ( ) = 4368 - 78 = 4290.
11 11
"PSEUDO" SOLUCION 3:
3
Hay ( ) formas de elegir uno de los arqueros para que, al incorporarlo al
1
equipo, se cumpla la condicion exigida.
Hecho esto, entre las 15 personas restantes, elegimos libremente 10 para
completar el equipo. 15
Esto puede hacerse de ( ) = 3003 maneras.
10
3
Habria, por lo tanto, ( ) x 3003 = 9009 equipos elegidos segun la condicion.
1
¿Donde esta el error?
LO QUE SE VIENE
PROBLEMA:
a) ¿De cuantas maneras pueden bajarse 10 paquetes (iguales) en 12 pisos?
b) Idem a), pero con la condicion de que en los pisos pares se baje algun
paquete.
c) Idem a), si en cada piso puede bajar a lo sumo un paquete.
