R A M A A Z U L X X I X
Resolvamos el problema de la rama anterior:
"Se quiere construir un lenguaje secreto con los simbolos + , * , $ . Si las
palabras deben tener longitud menor o igual que n, ¿como debe ser n para que
haya por lo menos 10.000.000 de palabras distintas?
Contemos primero, dado un k fijo, cuantas palabras de longitud k pue-
den formarse:
En cada posicion se pueden ubicar cualquiera de los 3 simbolos, y por esto la
k
cantidad es 3 x 3 x 3 x ... x 3 = 3
|_______k veces __|
Si se permiten palabras de no mas de n simbolos de longitud, la cantidad total
de palabras sera:
n+1
1 2 3 n 3 - 1
3 + 3 + 3 + ... + 3 = --------- - 1
3 - 1
Por esto, n debe ser tal que
n+1 n+1
3 - 1 7 3 - 3 7
--------- - 1 > 10 y esto ocurre si y solo si --------- > 10
3 - 1 2
n+1 7 n+1 7
Luego, 3 - 3 > 2 . 10 o sea 3 > 2.10 + 3
Despejamos n aplicando ln: 7
7 ln ( 2 10 + 3 )
(n+1) ln 3 > ln (2 . 10 + 3) y nos queda n > ----------------- - 1
ln 3
n > 14.302...
n debe tomarse mayor o igual que 15 para que el lenguaje tenga por lo menos
10.000.000 de palabras.
PARA SEGUIR PENSANDO:
1. ¿De cuantas maneras se pueden distribuir 2 entradas para un concierto de
rock entre 5 chicos? ¿Y si en vez de 2 entradas se tuvieran tres?
2. ¿Cuantos cuadrilateros se pueden formar con los vertices de un hexagono
regular?
3. El lenguaje de una computadora se traduce a secuencia de digitos formadas
por ceros y unos. Un byte es una de estas secuencias formadas por 8 digitos.
Por ejemplo
0 0 1 0 1 1 0 1
¿Cuantos bytes pueden formarse?
¿Cuantos bytes hay que no usen mas de 3 unos?
4. Sobre una recta hay 7 puntos y sobre otra, paralela a ella, hay 5 puntos.
¿Cuantos triangulos hay que tengan sus vertices entre esos puntos?
5. Todas las personas que asisten a una reunion se estrechan la mano. Si hubo
45 apretones, ¿cuantas personas asistieron?
