R A M A   A Z U L   X X X





        En la rama anterior, aparecieron los primeros problemas en que se tra-

taba de contar, de cuantas maneras se pueden elegir subconjuntos (o muestras

no ordenadas) de cierta cantidad de objetos ( digamos k ) de un conjunto de n

elementos.

        No queremos todavia dar formulas, pero notemos que:

Usando el principio general de numeracion, es facil contar muestras ordenadas.

        Por otro lado, toda muestra ordenada, puede obtenerse como resultado

del proceso de:

1) elegir una muestra no ordenada del mismo tamaño.

2) ordenarla.



        Ahora; formas de ordenar k objetos, hay

                k! = k x (k-1) x ... x 2 x 1  (k factorial)

Por ello, la relacion entre las cantidades es:

Si C n,k  es la cantidad de muestras no ordenadas (de tamaño k, elegidas entre

n)

y  V n,k  es la cantidad de muestras ordenadas de tamaño k, elegidas entre n,



                V n,k  =  k!  x  C n,k



y de aqui:                V n,k

                C n,k  = -------

                            k!



EJEMPLO: El problema de los bytes:

¿Cuantos bytes (secuencia de 8 digitos, cada uno de los cuales pueden ser 0 o

1) hay que tengan exactamente tres unos?

Habra tantos como formas de elegir tres posiciones (entre las ocho), donde

iran los unos:

        Hay 8 x 7 x 6 maneras de elegir 3 posiciones (en orden)

Pero, por ejemplo   1 2 3 ;   2 1 3 ;  1 3 2 ;  2 3 1 ;  3 1 2   y   3 2 1

(que se han considerado 6 ternas distintas) corresponden a que ocupemos con

"unos" las posiciones 1, 2 y 3,

y asi pasa siempre:

Con cada trs posiciones que se elijan, pueden formarse  6 = 3 x 2 x 1 ternas

ordenadas distintas que las usan.

               8 x 7 x 6

Por esto, hay -----------  = 56 maneras de elegir en que posiciones van los 3

               3 x 2 x 1

"unos".





MAS PROBLEMAS:



1) ¿Cuantas diagonales tiene un poligono de n lados?



2) Se cuenta con 16 jugadores de futbol, de los cuales solo 3 pueden desempe-

ñarse como arqueros. ¿Cuantos equipos pueden formarse que incluyan al menos

uno de los posibles arqueros?



3) Dados un grupo de 4 rectas paralelas y otro de 5 tambien paralelas entre si

(y no paralelas a las anteriores) determinar cuantos paralelogramos hay cuyos

4 lados coincidan con segmentos de dichas rectas