R A M A A Z U L X X I I I
SOLUCION DEL PROBLEMA DE LAS RECTAS:
Se tienen en el plano 20 rectas, de a dos no paralelas y de a tres no concu-
rrentes.
¿Cuántas regiones determinan?
Realizamos un análisis "inductivo" de la situación:
Cuando hay una recta, quedan determinadas 2 regiones.
Cuando agregamos una recta más, las dos regiones que habían son subdivididas,
lo que hace que la cantidad de regiones aumente en dos.
Llamemos R(n) a la cantidad de regiones que quedan determinadas por n rectas
en las condiciones del enunciado.
Tenemos, por ahora, R(1) = 2
R(2) = 2 + 2.
Relacionemos R(3) con R(2): al agregar la tercera recta, las otras dos deter-
minan sobre ella, sendos puntos, x1 y x2, que dividen a la recta en tres seg-
mentos (más precisamente, dos semirrectas y 1 segmento central. Un dibujo ayu-
da a comprender mejor).
Cada una de estas porciones de la recta, sirve para dividir en dos una región
de las que había antes. Por esto, la cantidad de regiones aumenta en este caso
en 3.
Tenemos, R(3) = R(2) + 3 = 2 + 2 + 3.
Al incorporar una cuarta recta, razonando análogamente, se concluye que
R(4) = R(3) + 4 = 2 + 2 + 3 + 4.
Ya estamos en condiciones de conjeturar una expresión explícita para R(n).
n(n+1)
Es R(n) = 2 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ n = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = 1 + ------ .
2
n(n+1)
Demostramos ahora por inducción en n, que R(n) = 1 + ------- .
2
Para n=1, la igualdad es cierta:
1(1+1)
R(1) = 2 = 1 + -------
2
Supongamos que vale que h rectas entre las cuales no hay dos paralelas ni tres
h(h+1)
concurrentes determinan en el plano 1 + ------- regiones.
2
Cuando hay h+1 rectas, miremos una de ellas:
sobre ella, las restantes h rectas determinan h puntos (todos distintos), que
la "parten" en h+1 segmentos consecutivos que se tocan en los extremos (en
realidad, dos semirrectas en las puntas y h-1 segmentos).
Cada uno de estos segmentos, atraviesa una región y la subdivide en dos. Las
restantes regiones no son afectadas, así que la recta que estamos analizando
hace aumentar la cantidad de regiones en h+1.
Por ello, es R(h+1) = R(h) + h + 1 .
Como, por hipótesis inductiva sabemos que
h(h+1)
R(h) = 1 + -------- obtenemos que
2
h(h+1) h(h+1) + 2 (h+1) (h+1)(h+2)
R(h+1) = 1 + -------- + (h+1) = 1 + ------------------ = 1 + ------------ ,
2 2 2
con lo que hemos demostrado la validez de la fórmula para h+1.
Se sigue, por el principio de inducción, que la fórmula vale para todo n, esto
es, n rectas de a dos no paralelas y de a tres no concurrentes, determinan
n(n+1)
------ + 1 regiones en el plano.
2
En nuestro caso, 20 rectas determinan
20.21
R(20) = ------- + 1 = 211 regiones. (Fin)
2
En los sucesivos envíos, pensamos tratar temas de combinatoria.
Queda para pensar en las vacaciones el problema "Luces de Colores" (Rama Azul
XX). Anímense a enviarnos sus soluciones.
¡Felices vacaciones!
