R A M A A Z U L X X I I
EL NUMERO 1000 (Ultimo Capítulo)
Cerramos hoy la serie con la demostración de la conjetura que habíamos
formulado en la entrega anterior, y con la publicación de la solución que nos
ha hecho llegar el profesor Silvio Santos, a quien felicitamos y agradecemos
por su interés y su colaboración.
Demostración de la conjetura:
Para cada n, llamamos Pn al producto máximo. La conjetura decía que la
mejor descomposición estaba formada por "2" y "3". Más precisamente,
k
Si n = 3k, n = 3 + 3 + ... + 3 y Pn = 3 .
|_______________|
k veces
2 k-1
Si n = 3k + 1, n = 3 + 3 + .... + 3 + 2 + 2 y Pn = 2 . 3
|________________|
k-1 veces
k
Si n = 3k + 2, n = 3 + 3 + ... + 3 + 2 y Pn = 2.3
|_______________|
k veces
En efecto:
Por inducción vemos que la mejor descomposición está formada por "2"
y "3":
n=4, n = 2 + 2, P4 = 2²
n=5, n = 3 + 2, P5 = 2x3-
Si vale para todo entero menor que n también vale para n, ya que si en una
descomposición
n = a1 + a2 + ... + ar
algún ai > 3, por hipótesis inductiva (ai < n)
ai = b1 + b2 + ... + bs con 2 ó bj ó 3.
Ó á
Tenemos entonces que Pn = 2 . 3 con 2Ó + 3á = n.
Si n = 3k, 2Ó + 3á = 3k, entonces 2Ó = 3 (k - á) (*)
Ó á k
Vale que 2 . 3 ó 3 si y solo si
Ó (k-á)
2 ó 3 si y solo si ( por (*) )
3(k-á) 2(k-á)
2 ó 3 o sea
k-á k-á
8 ó 9 k
La igualdad vale solo si k = á. Es decir, Pn = 3
Si n = 3k+1, 2Ó + 3á = 3k+1, entonces 2(Ó-2) = 3 (k-1- á) (*)
Ó á 2 k-1
Entonces 2 . 3 ó 2 .3 ya que
Ó-2 (k-1-á)
2 ó 3 pues (*)
3(k-1-á) 2(Ó-1-á)
2 ó 3 dado que
k-1-á Ó-1-á
8 ó 9
2 k-1
La igualdad vale cuando á = Ó - 1. Es decir Pn = 2 . 3
Si n = 3k+2, 2Ó + 3á = 3k+2, entonces 2(Ó-1) = 3(k - á) (*)
Ó á k
Entonces 2 . 3 ó 2.3 ya que
Ó-1 (k-á)
2 ó 3 pues (*)
3(k-á) 2(k-á)
2 ó 3 dado que
k-á k-á
8 ó 9 k
la igualdad vale solo cuando k = á , Ó = 1. Es decir, Pn = 2. 3
LA SOLUCION DE SILVIO
En la descomposición que maximiza el producto, no pueden haber
(a) "unos" ni (b) números más grandes que cuatro:
(a) En vez de que haya un "uno" se agranda el producto reemplazando a cual-
quier otro sumando "a" y al "1" por "a+1".
El aporte al producto de los sumandos reemplazados es a.1 = a, que es
menos que a+1, que es el aporte del nuevo sumando.
(b) Si hay un sumando n más grande que 4 (n_5), cambiándolo por los sumandos
2 y n-2 se agrandaría el producto, pues
2.(n-2) = 2n - 4 = n + (n-4) > n + 0 = n.
Ahora bien, en la descomposición óptima no habrá dos "cuatros", pues es
mayor el producto si en su lugar hay dos "tres" y un "dos" (3.3.2 > 4.4).
Más aún, la presencia de un cuatro puede sustituirse por dos "dos", sin que
esto modifique el producto.
Por todo esto, podemos decir que en una descomposición óptima, todos los su-
mandos serán "tres" y "dos".
Ahora: no puede haber tres "dos": cambiándolos por dos "tres", crecería el
producto: 2.2.2 = 8 < 9 = 3.3 .
Por esto, el producto máximo se obtendrá con
- todos "tres",
- todos "tres" menos un "dos",
- todos "tres" menos dos "dos"
según el resto que tenga el número que queramos descomponer al ser dividido
por 3, caeremos en uno (y sólo uno) de los tres casos:
1000 = 3.333 + 1 = 3.332 + 4 , pues el factor 1 debe "absorberse".
332 2
El mayor producto es 3 . 2 . (listo).
LO QUE SE VIENE: La solución del problema "RECTAS EN EL PLANO":
Se dibujan 20 rectas en el plano. No hay tres de ellas con-
currentes ni dos paralelas. ¿Cuántas regiones determinan?
SUGERENCIA:
Empezar con 1 recta. Agregar otra: notar que aparecen 2 regio-
nes más (2 regiones son subdivididas por la nueva recta).
Agregar otra y controlar cuántas regiones son afectadas (subdivididas) por su
aparición (¡Ojo! Siempre de a dos no paralelas y de a tres no concurrentes).
Seguir un poquito: conjeturar una fórmula para f(n) : cantidad de regiones
que quedan determinadas por n rectas en las condiciones del enunciado.
Demostrarla por inducción. ¡Suerte!
