R A M A   A Z U L   X X I V





                       EL PROBLEMA "LUCES DE COLORES"





Recordamos el enunciado:



Un juego consiste de 9 botones luminosos (de color verde o rojo) dispuestos

de la siguiente manera:

                               1*      2*      3*



                               4*      5*      6*

 

                               7*      8*      9*

Si se aprieta un botón del borde cambian de color él y todos sus vecinos, y si

se aprieta el botón del medio, cambian de color sus 8 vecinos pero él no.

Los siguientes ejemplos muestran con puntos las luces que cambian de color al

presionar el botón que se indica:

 

 .       .       *             .        .       .       .       .       .



 .       .       *             .        .       .       .       *       .

 

 *       *       *             *        *       *       .       .       .



      botón 1                        botón 2                 botón 5



 ¿Es posible (apretando sucesivamente algunos botones) encender todas las lu-

 ces con color verde, si inicialmente estaban todas encendidas con luz roja?

 Justifique la respuesta.



 

 SOLUCION:

 Observemos que al apretar cualquiera de los botones cambian de color un núme-

 ro par de botones, de acuerdo con la siguiente tabla:



                Botón nº                cambian de color

                1,3,7,9                 4 botones

                2,4,6,8                 6 botones

                   5                    8 botones



Así, la cantidad de botones que cambian de rojo a verde tiene la misma paridad

que la cantidad de botones que pasan de verde a rojo (pues su suma es par).

Esto hace que la cantidad de botones verdes siempre sea un número par:

En efecto, si a(n) es la cantidad de botones después del n-ésimo paso, es

                        a(n+1) = a(n) + ( r - v )

donde r y v son la cantidad de botones rojos y verdes, respectivamente, que

había en el sector afectado por el cambio antes de apretar el botón.

Como r+v es par, r-v también lo es y resulta que a(n+1) y a(n) tienen la misma

paridad.

Como a(0) = 0, a(n) es siempre par. Nunca el tablero quedará todo verde, pues

a(n) = 9 es imposible.