R A M A A Z U L X X I
SOLUCION DEL PROBLEMA "EL NUMERO 1000"
El problema consiste en descomponer el número 1000 en la forma
1000 = a(1) + a(2) + ... + a(r)
con los a(i) enteros positivos, de manera tal que el producto de los sumandos
sea máximo.
Observemos, en primer lugar, que los sumandos a(i) son números más chi-
cos que 1000. Además, si algún a(i) se puede descomponer en sumandos que mul-
tiplicados entre sí den como resultado un número más grande que a(i), conven-
drá reemplazar a(i) por tal descomposición para obtener un producto de suman-
dos más grande.
Por ejemplo,
1000 = 500 + 500 (1)
pero 500 = 250 + 250, con 250 x 250 mayor que 500. Entonces convendrá reempla-
zar en (1) a 500 por (250 + 250) para aumentar el valor del producto; pero
250 = 125 + 125 ...
Esto nos lleva a plantear problemas más fáciles cuales son los de des-
componer los primeros números enteros para poder formular una conjetura.
Es claro que no conviene descomponer a 2.
2 = 1 + 1 y 1 x 1 < 2.
Tampoco conviene descomponer a 3:
3 = 2 + 1 y 2 x 1 < 3.
3 = 1 + 1 + 1 y 1 x 1 x 1 < 3.
Con 4 la mejor descomposición es
4 = 2 + 2 con 2 x 2 = 4.
Con 5 la mejor descomposición es
5 = 3 + 2 con 3 x 2 = 6.
Veamos que pasa con el 6: la mejor descomposición es
6 = 3 + 3 ya que el producto 3 x 3 = 9 supera al de las
otras descomposiciones.
Con 7 la mejor descomposición es
7 = 3 + 2 + 2 ó 7 = 3 + 4
el producto vale 12. Observamos que si en una descomposición (de 7) aparece un
número mayor que 3, convendrá descomponerlo en sumandos más chicos para aumen-
tar el valor del producto. Este hecho parece ser general.
Antes de jugarnos con una conjetura hagamos un par de pasos más:
8 = 3 + 3 + 2
es la mejor descomposición de 8; y
9 = 3 + 3 + 3
es la mejor descomposición de 9.
Estamos en condiciones de formular una conjetura:
la mejor descomposición del número n en sumandos de enteros
positivos que hace máximo el producto de los mismos está formada por "3" y por
"2". La cantidad de "3" es la mayor posible, de modo que lo que sobre se pue-
da completar con "2".
Precisamos esto:
Si n = 3k, la descomposición
n = 3 + 3 + 3 + ... + 3
|_________________|
k sumandos
k
hace que el producto P(n) = 3 sea máximo.
Si n = 3k+1, la descomposición óptima es
n = 3 + 3 + ... + 3 + 2 + 2 ,
|______________|
k-1 sumandos
k-1
el producto P(n) = 3 . 4
Si n = 3k+2, la descomposición óptima es
n = 3 + 3 + ... + 3 + 2 ,
|______________|
k veces
k
el producto P(n) = 2. 3
Si esta conjetura resulta cierta habremos resuelto el problema "el nú-
mero n" ya que el problema que nos ocupa es un caso particular.
En efecto:
1000 = 3 x 333 + 1
Entonces la descomposición que maximiza el producto es
1000 = 3 + 3 + 3 ... + 3 + 2 + 2
|________________|
332 veces
332
y el producto vale 4. 3
La demostración de la conjetura, la próxima entrega.
Esperamos otras soluciones de este problema. En la próxima entrega co-
mentaremos el problema de las "rectas en el plano". Hasta la próxima.
