R A M A   A Z U L   X V I I I





                       METODO DE REDUCCION AL ABSURDO





        Esta estrategia la venimos usando a lo largo de los encuentros semana-

les. De todos modos no está de más explicitarla para tenerla en cuenta en la

resolución de problemas.

        Cuando queremos probar que una propiedad P es verdadera, una manera

sorprendente de atacar el problema es:

        "supongamos que la propiedad P es falsa"

Si esta suposición nos conduce lógicamente a una contradicción con algún he-

cho, teorema o hipótesis conocidos, concluimos que P es verdadera.

        En la entrega 3 demostramos que existen infinitos primos usando esta

estrategia. Otro ejemplo donde se usa esta estrategia es en el siguiente re-

sultado:    _

           ¹2  no es un número racional. (*)

En efecto:                                                _

                Supongamos que (*) es falsa. Tenemos que ¹2 es un número ra-

cional. Es decir:        _

                        ¹2 = a/b

con a y b enteros. Podemos suponer, además, que (a,b) = 1  (es decir que la

fracción a/b fue simplificada todo lo posible). Se tiene, elevando al cuadrado

que

                2b² = a²

        Entonces a² es un número par. Entonces a es un número par. Entonces

a = 2k. Entonces a² = 4 k², entonces b² = 2 k². Entonces b² es par, luego

b es par. Pero si a y b son pares, (a,b) es distinto de 1. Contradicción.

        Luego, (*) es verdadera.





                                PROBLEMAS



1) Si el polinomio                             2         3         4         5

                  P(x) = a(0) + a(1) x + a(2) x  + a(3) x  + a(4) x  + a(5) x

tiene todos sus coeficientes enteros e impares, probar que no tiene raíces ra-

cionales.



2) Si una recta tiene un sólo punto en común con una circunferencia (es decir,

es tangente a ella) entonces el radio que une el centro con el punto de con-

tacto es perpendicular a ella.



3) Sea A = { x(1) < x(2) < ... < x(100) } un conjunto de números naturales tal

que si x e y son dos números naturales que no pertenecen a A entonces x + y no

pertenece a A. Probar que x(i) ó 2i - 1   para i = 1, 2, ..., 100.