R A M A A Z U L X V I I
LOS INVARIANTES
Presentamos una estrategia que permite resolver ciertos problemas.
Prestemos atención a algunas propiedades que enseñamos a nuestros alum-
nos:
El orden de los factores no altera el producto.
Si multiplicamos ambos miembros de una desigual-
dad por un número positivo, la desigualdad no
cambia.
En ambos casos, después de cierta operación, hay "algo" que no se al-
tera (o no cambia). Decimos que ese "algo" es INVARIANTE por dicha operación,
o bien que dicha operación deja invariante ese algo. En este lenguaje, el pri-
mer enunciado se lee:
el producto es invariante por permutación de los
factores.
La búsqueda de invariantes no suele ser tarea fácil. Además, muchas
veces sucede que guarda una relación insospechada con el problema a resolver.
Ejemplo: Consideremos un tablero de 2x2 con tres fichas numeradas con 1, 2 y
3. Dada una posición en el tablero de estas tres fichas se puede obtener una
nueva posición moviendo una de las dos fichas adyacentes al casillero desocu-
pado para este mismo casillero. ¿Es posible obtener la configuración
_______ _______
| 1 | 2 | | 3 | 2 |
|---|---| a partir de |---|---| ?
| 3 | | | 1 | |
------- -------
SOLUCION:
Los movimientos permitidos mantienen el orden cíclico (este es el
invariante). Así de
_______
| 3 | 2 | se pueden obtener las configuraciones (3 2 1), (1 3 2) y (2 1 3)
|---|---| con un casillero vacío en el tablero. Pero no se puede obtener la
| 1 | | configuración (1 2 3) pues tiene otro orden cíclico.
-------
En consecuencia NO es posible.
PROBLEMAS
1) EL DETERMINANTE
Consideremos un tablero (o matriz) de 2x2 donde en cada casillero se
coloca un número. Es decir
_______
| a | b |
|---|---|
| c | d |
-------
En cada caso se permite efectuar una de las siguientes operaciones:
- sumar a una fila un múltiplo cualquiera de la otra;
- sumar a una columna un múltiplo cualquiera de la otra.
Si el tablero tiene la siguiente disposición de números:
_______
| 3 |-3 |
|---|---|
| 2 | 2 |
-------
¿Es posible por medio de operaciones permitidas lograr que en el tablero haya
una fila de ceros?
Ayuda: Recuerde el determinante de una matriz.
2) Se tiene el conjunto de los 100 números 1, 1/2, 1/3, ..., 1/100.
Se eliminan dos elementos cualesquiera a y b de este conjunto y se incluye en
el conjunto (a + b + a.b) quedando así un conjunto con un elemento menos. Des-
pués de 99 de estas operaciones, queda sólo un número. ¿Qué valores puede to-
mar ese número?
Ayuda: El resultado no depende del orden en que se realizan las operaciones.
3) Se tiene un tablero de 3x3. Se asigna inicialmente un número entero no ne-
gativo a cada una de las casillas. En el tablero se permite efectuar la si-
guiente operación: en cualquier par de casillas con un lado común se pueden
modificar los dos números sumándoles un mismo número entero (que puede ser ne-
gativo), siempre que ambos resultados sean no negativos.
¿Qué condiciones se deben satisfacer inicialmente en la asignación de los nú-
meros, para dejar, mediante aplicaciones reiteradas de la operación, cero en
todas las casillas?
Ayuda: Pintar las casillas del tablero como en el juego de ajedrez de "blan-
cas" y "negras". Encontrar el invariante por la operación descripta. Tal vez
ayuda hacerlo en un tablero más chico.
