R A M A   A Z U L   X I I I





                                 CONGRUENCIAS



        La noción de congruencia simplifica y ordena el análisis de los restos

de una división entera.

        Decimos que dos números enteros a y b son congruentes módulo m (m na-

tural) si a y b tienen el mismo resto en la división por m.

        Escribimos a ð  b (m) para simbolizar " a y b son congruentes módulo

m".

3 ð 5 (2) porque ambos tienen resto 1 en la división por 2.

149 ð 19 (5) porque ambos tienen resto 4 en la división por 5.

28 ð 0 (7) porque ambos tienen resto 0 en la división por 7.

        Si hacemos las diferencias entre ambos números, tenemos:

3 - 5 = -2   es múltiplo de 2.

194 - 19 = 175  es múltiplo de 5.

28 - 0 = 28 es múltiplo de 7.

        En general, a ð b (m) si y sólo si a - b es múltiplo de m (en la mayo-

ría de los textos esta es la definición de congruencia).

        La congruencia conserva varias propiedades de la igualdad:

Si a ð b (m) y b ð c (m)    entonces  a ð c (m).

Si a ð b (m) y c ð d (m)    entonces  a + c ð b + d (m)

                                       a.c  ð  b.d  (m)

                                        aü  ð   bü  (m)  si n es natural.

        Un resultado importante:

Todo número entero a es congruente módulo m a uno y sólo un entero r tal que

0 ó r < m. Este número r es el resto de la división de a por m.

        37 ð 2 (5)      1471 ð 8 (11)      31 ð 4 (9)       42 ð 0 (7).

Veamos cómo aplicar congruencias en un ejemplo:

        Probar que la ecuación  3x² + 2 = y² no tiene soluciones enteras.

Si x es un número entero, entonces  3 x² ð 0 (3)  y como 2 ð 2 (3), tenemos

3 x² + 2 ð 2 (3).

        Por otro lado, si y es un número entero, sus posibles restos en la di-

visión por 3 son 0, 1 ó 2.

       Veamos qué sucede en cada caso con y²:

y  ð 0  (3)             y  ð  1  (3)            y  ð  2  (3)

y² ð 0² (3)             y² ð  1² (3)            y² ð  2² (3)

y² ð 0  (3)             y² ð  1  (3)            y² ð  4 ð 1  (3)

En ningún caso es y² ð 2 (3), y por lo tanto no puede ser 3x² + 2 = y².

 

                           3

1) Probar que la ecuación x + 5 = 7 y no admite soluciones enteras.

 

2) ¿Cómo hay que elegir n para que 10ü - 1 sea divisible por 11? ¿Y para que

sea divisible por 11²?

                                         1995

3) Hallar el resto de la división de 2000     por 7.

 

                                      4444

4) Sea A la suma de las cifras de 4444      y sea B la suma de las cifras de

A. Calcular la suma de las cifras de B.