R A M A A Z U L X I I
ARITMETICA (II)
NUMEROS PRIMOS Y TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA (T.F.A.)
DEFINICION: Un número entero p se dice PRIMO, si posee exactamente cuatro
divisores: 1, -1, p y -p.
Son primos, por ejemplo, los números 2, -2, 3, -3, 5, -5; pero no lo son 0,
1, -1, -6 y 6.
DEFINICION: Se dirá que un número entero distinto de 0, 1, -1 es COMPUESTO si
no es primo.
Que un número N sea compuesto, significa, entonces, que es posible factorizar-
lo como producto de dos enteros de manera no trivial (o sea, con ninguno de
los factores iguales a 1, -1, p o -p).
PROPOSICION: Si un número entero distinto de 0, 1, -1 es compuesto, entonces
es producto de primos.
Esta proposición se demuestra usando el principio del mínimo.
PROPOSICION: Existen infinitos primos.
Esta se demuestra por el absurdo: se supone que los primos son
finitos: p(1), p(2), ..., p(n) y se mira el número M = p(1).p(2). ... .p(n)+1.
Resulta que M (que no es 0, 1, -1) no es primo ni producto de primos, y esto
no puede ser. El absurdo proviene de suponer que son finitos.
El TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA refuerza el hecho de que se puede es-
cribir a un entero como producto de primos, con lo hay una única forma de
hacer dicha factorización.
Se trata (sobre todo por la unicidad) de un resultado sorprendente, que se re-
vela como arma muy eficaz a la hora de dilucidar algunas cuestiones sobre di-
visibilidad.
Dice el Teorema:
Para todo entero a, a distinto de 0, 1, -1
a) Existen primos p(i), 0 < p(1) ó p(2) ó ... ó p(r) y ë = 1 ó ë = -1
tales que a = ë.p(1).p(2). ... .p(r) (existencia)
b) Si además, existen primos q(j), con 0 < q(1) ó q(2) ó ... ó q(s) y ë'=1 ó
ë'=-1 tales que a = ë'.q(1).q(2). ... .q(s); entonces
r=s; ë=ë' y p(1)=q(1); p(2)=q(2); ... y p(r)=q(r). (unicidad).
Es útil expresar la factorización en producto de primos, agrupando los primos
iguales en una potencia del mismo.
3 6
Así, 24 = 2.2.2.3 = 2 .3 y 64 = 2.2.2.2.2.2 = 2 .
Escribiremos, entonces e(1) e(2) e(r)
a = ñ p(1) . p(2) . ... . p(r) , donde los
p(i) son distintos dos a dos y los e(i) > 0 .
Una aplicación del T.F.A. nos permite caracterizar a los divisores de un núme-
ro dado. e(1) e(2) e(s)
Si es N = ë.p(1) . p(2) . ... . p(s) , donde los p(i) son distintos
dos a dos y e(i) > 0 para todo i, y ë = 1 ó ë = -1, y d es un divisor de N,
entonces d tendrá en su factorización (algunos de) los primos que aparecen en
la de N, elevados a potencia menor o igual de la que tienen en N: en efecto,
al analizar las factorizaciones en primos en la igualdad N = d.M , con
M entero, llegamos a que al multiplicar d y M, los primos que aparecen en sus
respectivas factorizaciones se juntan, y se suman las potencias de los que
fueran comunes. Como resultado de esta operación, no puede aparecer sino la
factorización de N (por la unicidad), así es que d debe necesariamente tener
las características que habíamos anticipado.
Ó(1) Ó(2) Ó(s)
Esto es, d = ë'. p(1) . p(2) . ... .p(s)
donde 0 ó Ó(i) ó e(i) y ë' = ñ 1.
Ó(i) = 0 significa que el primo p(i) no aparece en la factorización de d.
Ejemplo: calcular la cantidad de divisores positivos que tiene 96.
5
Es 96 = 32 x 3 = 2 . 3 Ó á
Los divisores positivos de 96 serán de la forma d = 2 . 3 , donde Ó puede va-
ler 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 (6 valores posibles) y á 0 ó 1 ( 2 valores posibles ).
Hay, por lo tanto, 6x2 = 12 maneras de elegir Ó y á, y en consecuencia, 12 di-
visores positivos de 96.
PROBLEMAS 6 n
1- ¿Para qué valores de n entero positivo se verifica n = 6 ?
2- Sea M = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }. ¿Es posible descomponer M en dos conjuntos
disjuntos no vacíos, M(1) y M(2), tales que M = M(1) U M(2) , M(1) ï M(2)=í
y el producto de los elementos de M(1) sea igual al producto de los elementos
de M(2)? (Evitar hacer las 64 verificaciones).
5 4
3- Encontrar la suma de todos los divisores positivos de 10 . 6 .
4- ¿Cuál es la máxima potencia de 5 que divide a 200! ?
( 200! = 1 x 2 x 3 x ... x 198 x 199 x 200 )
