R A M A   A Z U L   X I





                             ARITMETICA (I)





        Indicamos con Z el conjunto de los números enteros.

Z = { ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }. En este ámbito se desarrolla la teo-

ría de divisibilidad: a diferencia de lo que ocurre en los números reales o en

los racionales, donde siempre pueden resolverse las divisiones (el cociente de

dos números de esos conjuntos es nuevamente un número del mismo tipo), la

ecuación        m x = n  , donde m y n son números enteros, no siempre admite

una solución entera.

        Este hecho da lugar a una primera

DEFINICION: Si a y b son enteros (a distinto de cero), se dice que " a divide

a b " ( y se nota a | b ) si existe c î Z tal que b = a.c

 

Son sinónimos de "a divide a b": "a es divisor de b"; "a es factor de b" y

" b es múltiplo de a".

Por ejemplo, 5 | 10 ; 2 | 2 ; -2 | 2 ( 2 = (-2).(-1) ).

 

Observación: si n | m   entonces |n| ó |m|.

Así, si n | m  y m | n , entonces  m = ñ n.

 

 

ALGORITMO DE DIVISION

Si a y b son enteros, con a > 0, entonces existen UNICOS enteros q y r con las

siguientes dos propiedades:

                                b = q.a + r    y    0 ó r < a.

Decimos, en tal caso, que q es el cociente y r el resto de la división de b

por a.

Notaremos en algunas ocasiones, r = r(b:a).



EJEMPLO: ¿Cuál es el resto de dividir -21 por 4?

Para responder la pregunta, hay que escribir

        -21 = 4.n + 4.r , con n, r enteros y 0 ó r ó 3.

Es fácil dividir 21 por 4:   21 = 4.5 + 1 . De aquí, -21 = 4 (-5) - 1 ;

restando y sumando 4 (que es el divisor) en el segundo miembro, obtenemos

-21 = 4(-5) - 1 = 4(-5) - 4 + 4 - 1 = 4(-5-1) + 3 = 4(-6) + 3 .

Resulta entonces que el resto de dividir a -21 por 4 es 3

(y el cociente es -6).

 

CRITERIO: a | b si y sólo si el resto en la división de b por a es cero.

 



                        EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1) Decidir la validez de las siguientes afirmaciones; en cada caso, aportar

una demostración si es verdadera, y un contraejemplo si es falsa.

i) Si un número es par, su cuadrado es par.

ii) Si un número no es divisible por 6, entonces no es divisible por 9.

iii) a | b+c, entonces a | b   ó   a | c .

iv) a | b² , entonces a | b.

v) a | b   y   a | c , entonces a | b+c   y   a | b-c .

vi) a | b   y   b | c , entonces a | c .

vii) a | a+b  entonces a | b.

viii) r(b+c:a) = r( r(b:a) + r(c:a) : a ) .

ix) r( b.c : a ) = r ( r(b:a) . r(c:a) : a ) .



Ejemplo: i) Es verdadera: que n sea par significa que n = 2k, kî Z. En tal

caso:   n² = 4k² = 2(2k²) como 2k²î Z, n² es par.

         ii) Es falso: por ejemplo al mismo 9 le pasa que no es divisible por

6 pero sí por 9.

Respuestas: iii)F;      iv)F;   v)V;    vi)V;   vii)V;  viii)V;   ix)V.

 

2) M y N son números enteros tales que: r(M:14) = 11 y r(N:21) = 8.

Encontrar r(N-3M:21)  y r(N-3M:7).

 

3) Probar que un número no puede ser simultáneamente múltiplo de 12 aumentado

en 5 y múltiplo de 15 aumentado en 4.

                                4

4) Demostrar que la ecuación 3 x  - 7 x + 5 = 0 no tiene soluciones enteras.