R A M A   A Z U L   X





                         PRINCIPIO DEL MINIMO





        El "principio del mínimo" o de "buena ordenación es equivalente al

principio de inducción que presentamos en las dos semanas anteriores.

        Este Principio dice simplemente que todo conjunto no vacío de números

naturales posee un elemento mínimo. Mostramos como actúa este Principio en el

ejemplo que dimos para ilustrar el principio de inducción global.

        Sea f: N --> N la aplicación definida por

                                       n / 2 si n es par

                                f(n) =

                                       n + 3 si n es impar.

Probar que, para cada n î N, existe i î N tal que la aplicación reiterada i

veces de f a n da 1 ó 3.





                                SOLUCION



        Si la afirmación no es verdadera, existe algún natural tal que al

aplicarle f reiteradamente nunca da 1 ó 3. Entonces el conjunto

                      i

        A = { h î N: f (h) no es 1 ni 3, cualquiera sea i î N } es un conjunto

no vacío.

        En virtud del principio del mínimo, el conjunto A tiene un elemento

mínimo m î A.

        Si m es par, f(m) = m/2 < m, entonces, como m/2 no pertenece a A, la

aplicación reiterada de f da como resultado 1 ó 3. Absurdo.

        Si m es impar: f( f(m) ) = (m+3)/2 < m ( si m > 3 ). Nuevamente, como

(m+3)/2 no pertenece a A,la aplicación reiterada de f da como resultado 1 ó 3.

        Si m = 1, f(1)=4;       f(4)=2;         f(2)=1.

        Si m = 3, f(3)=6;       f(6)=3.

        Luego el tal m no existe. En consecuencia el conjunto A es vacío.



PROBLEMA: Salteando múltiplos de 3.

¿Para qué enteros positivos n el número n²-2 es múltiplo de 3?

 

PROBLEMA: "Un problema del Cono Sur"

Probar que no existen números enteros positivos x, y, z que satisfagan

                x²+ y² = 3 z².

Sugerencia: reducir el análisis al caso en que los tres números son primos re-

lativos.

 

PROBLEMA: Aplicando f muchas veces. 

¿A qué conduce la aplicación reiterada de f a cualquier entero positivo?

Siendo                 n/2      si n es par

                f(n) = 3n+1     si n es de la forma 4k+1

                       3n-1     si n es de la forma 4k-1

Obs: Este mismo problema lo presentamos para ilustrar el principio de induc-

ción global.



PROBLEMA: Un número irracional.    _

        Probar que si p es primo, ûp  es irracional.

                _

Sugerencia: si ûp = a/b con a mínimo se llega a una contradicción.