R A M A   A M A R I L L A   X X X V I





                       UN PROBLEMA DE CAMINO MINIMO





        Como prometimos, enviamos la solucion del problema planteado en el en-

vio anterior.



PRIMER CASO

                      *B

                  \ /

                  / \

               A*     \ 

            ____________\*_____________r

                         X



        Se traza la mediatriz del segmento AB y el punto en que ella corta a

la recta r sera el punto X buscado.





SEGUNDO CASO

                           *B

                          /

               A*       /.

                |\  . / 

            ____|__V __.______________r

                | / X   X'

              A'*



A': punto simetrico de Aa respecto de r asi que AX = A'X.

El punto X es la interseccion de la recta r con BA'

Veamos que el camino AX + XB es minimo. En efecto, para cualquier otro camino

BX' + X'A resulta BX' + X'A = BX' + X'A' > BA' = BX + XA (ver dibujo).

Observar que se obtiene el mismo punto X si se toma el simetrico de B y se une

con A.





                        UN PROBLEMA DE AREA MAXIMA



            .  .                  Se quiere limitar un area rectangular ABCD

      .  .       .                que tenga por base una parte de la costa AB

   .                .             de manera que con un perimetro dado se 

 .                    .  .        encierre un area maxima.

._________________________.

 A|                     |B

  |                     |

  |                     |

 x|                     |

  |_____________________|

 D          y            C



        Es decir, se quiere que dado el perimetro y + 2x = L  se obtenga el

area F = xy maxima.



Se tiene         y = L - 2x     entonces

                 F = x (L - 2x)  de modo que por la desigualdad entre la media

aritmetica y la media geometrica obtenemos:



                2 F = 2 x ( L - 2x ) ó L / 2



donde el signo de la igualdad vale solo cuando 2 x = L - 2x   o sea x = L / 4.