R A M A A M A R I L L A X X X I V
CONTINUACION DEL EJEMPLO DE MAXIMOS Y MINIMOS
DESIGUALDADES ARITMETICAS
La media geometrica de dos numeros positivos es siempre menor o igual
que su media aritmetica.
__ a+b
Vab =< -----
2
Vale la igualdad unicamente en el caso a=b.
Para demostrarlo, basta tener en cuenta que el cuadrado de un numero
real cualquiera no puede ser nunca negativo:
_ _ __
(Va -Vb)² >= 0, entonces a + b - 2Vab >= 0.
a+b
Tambien ab =< (-----)² (*)
2
Vamos a generalizar esta desigualdad al caso de 3 variables: dados 3
numeros reales positivos cualesquiera x, y, z, vale siempre:
3_____ x+y+z
V xyz =< -------
3
y vale la igualdad unicamente en el caso x=y=z.
Observemos con cuidado:
3 _____ 1/3 4/3 1/4
V xyz = (xyz) = ( (xyz) )
Como 4/3 = 3/3 + 1/3 = 1 + 1/3 sigue:
1+1/3 1/4 1/3 1/4 1/3 1/4
( (xyz) ) = ( (xyz) (xyz) ) = ( (xy).z (xyz) ) y
aplicando la desigualdad (*) resulta:
1/3
3 _____ 1/3 1/4 x+y 2 z + (xyz) 2 1/4
V xyz = ((xy) . z(xyz) ) =< ( (-----) . ( (------------) ) ) =
2 2
1/3
x+y z + (xyz) 1/2
= ( (-----) (-------------) ) y aplicando nuevamente (*) resulta
2 2
1/3 1/3
x+y z + (xyz) 1/2 x+y+z+ (xyz)
( (-----) (-------------) ) =< ----------------
2 2 4
En resumen obtenemos
1/3
1/3 (xyz) x+y+z
(xyz) - ------- =< -------
4 4
3 1/3 x+y+z
Esto es, --- (xyz) =< -------
4 4
1/3 x+y+z
y finalmente (xyz) =< ------- que es la que queriamos demostrar.
3
Tengamos presente que la igualdad vale solo en el caso x=y=z.
Volviendo al problema de los envases, tendremos
2 2
At = 2 î r h + 2 î r = î r h + î r h + 2 î r
De donde, aplicando la desigualdad demostrada antes, tomando x = y = î r h,
2
z = 2 î r se deduce 2 _______
At î r h + î r h + 2 î r 3 3 4 2
----- = ------------------------ >=V 2î r h
3 3
2
y como V = î r h, se tiene 3____ 2/3
At >= 3V 2î V
2
y la igualdad vale unicamente si î r h = 2 î r
Entonces para obtener el envase de area total minima, la altura debe
ser igual al doble del radio de la base. Asi:
2 3 V
V = 2 î r , de donde r =V ---
2î
3 3 450 3 ______
Para el caso considerado antes, V = 450 cm , resulta r =V --- =V 71,658 =
2î
= 4,2 cm.
2
Entonces h = 24 = 8,4 cm. y At = 332,34 cm .
Comparar el valor h/r=2 con las alturas y radios de ejemplos anterio-
res. Observar cuales son los envases que mas se aproximan al valor de minima
area.
