R A M A A M A R I L L A X X X I I I
UN EJEMPLO DE MAXIMOS Y MINIMOS
PROBLEMA DE LOS ENVASES CILINDRICOS:
Para fabricar un envase cil¡ndrico de volumen V, que tenga una altura
h y radio de la base r, se necesita una cantidad de material igual al area to-
tal At.
El volumen y el area total del cilindro estan dados por
V = ã r² h
At = 2 ã r h + 2 ã r²
ACTIVIDAD PARA LOS ALUMNOS: Tomar latas de distintos tamaños, medir la altura
y el radio de la base (con aproximacion a milimetros).
Confeccionar una tabla en que se consignaran las medidas tomadas, el volumen
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(en cm ) y el area total (en cm ).
PROBLEMA: El problema del fabricante de envases es el de diseñar una lata ci-
lindrica de volumen V que tenga la minima area total V.
Observando que V
V = ã r² h resulta h = -----
ã r²
y sustituyendo en la expresion de At, se tiene
2 V
At = ----- + 2 ã r².
r
Con esta formula dado V, se puede calcular At en funcion de r y, con
ayuda de una calculadora se puede encontrar el valor de r que hace At minima.
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EJEMPLO: Supongamos que V = 450 cm .
Para r = 1, 2, ... se tiene la tabla:
2
r (cm) At (cm )
1 934,28
2 425,12
3 356,52
4 325,48
5 337,0
6 376,08
se ve que el minimo de At corresponde aproximadamente a r = 4 cm y
450 450
h = ----- = ------- = 8,96 cm.
ã r² 50,24
Si se desea una mayor aproximacion hasta los milimetros, hay que
armar ahora la tabla para los valores de r: 4,1; 4,2; 4,3;... para los que se
obtiene:
r At
4,1 325,08
4,2 325,05
4,3 325,42
4,4 326,13
obteniendo el minimo para r = 4,2 cm de donde h = 450 / ã (4,2)² =
= 450 / 55,39 = 8,12 cm (tomamos ã ÷ 3,14).
Este metodo para calcular los valores de r y h para el envase cilin-
drico de volumen V y area minima At es un metodo experimental. No se hacen
calculos complicados y se parte de formulas que todos conocen.
Sin embargo, no se hace una buena justificacion de que el valor obte-
nido empiricamente es efectivamente el minimo de la funcion area.
CONTINUARA
