R A M A   A M A R I L L A   X X X I



                        

                        APLICACIONES DE LA SEMEJANZA





EJERCICIOS



1. Un auto sale de Buenos Aires para Rosario a una velocidad promedio de 

90 km/h y al mismo tiempo sale otro de Rosario para Buenos Aires con una velo-

cidad promedio de 110 km/h. Sabiendo que la distancia de Buenos Aires a Rosa-

rio es aproximadamente igual a 320 km, se desea saber a que distancia de Bue-

nos Aires se encontraran.



2. Juan se dirige a pie del pueblo A al pueblo B, distante 16 km, a una velo-

cidad de 4 km/h. Al mismo tiempo, Pedro sale de B a su encuentro, en bicicle-

ta, a una velocidad de 20 km/h.

¿Cuanto tiempo tardaran en encontrarse y a que distancia estaran de A?

                                         



                                      C  

                                      .    

                                     ...   

MEDIANAS                          B'. . .A' 

                                   . \.H/.   

                                  .   /\  .   

                                 .  / .  \.    

                                . /   .    B    

                               .  .   C'         

                               A



Recordemos que las medianas de un triangulo ABC son los segmentos AA', BB', 

CC' que unen cada vertice con el punto medio del lado opuesto. Se observa en-

tonces que por el teorema de Thales, los triangulos ABC y C'BA' son semejan-

tes y, por tanto,          

                         AC     AB

                        ---- = ---- = 2

                        A'C'   C'B



Por otra parte, los triangulos  HAC y HA'C' tambien son semejantes, por tener

sus angulos respectivamente iguales. Por lo tanto

                         HC     AC

                        ---- = ---- = 2    y tambien

                         HC'   A'C'



                         HA     AC

                        ---- = ---- = 2

                         HA'   A'C'



Esto nos dice que para las medianas AA' y CC' es HC = 2 HC' y HA = 2 HA', o 

sea, las dos medianas se cortan en el punto H cuya distancia a los vertices

es los 2/3 de la longitud total de la mediana.

Como la demostracion analoga vale para las dos medianas AA' y BB' resulta la

importante propiedad:

        "Las tres medianas de un triangulo concurren en un punto H cuyas dis-

tancias a los 3 vertices son los 2/3 de la longitud de la mediana respectiva".



        El punto H se llama BARICENTRO o CENTRO DE GRAVEDAD del triangulo.



Respecto a los ejercicios de encuentro



1. x = 144 km de Buenos Aires.

2. a) tardaran 2/3 de hora, o sea 40 minutos en encontrarse; b) la distancia

de encuentro a A sera de 2,66 km.