R A M A A M A R I L L A X I V
UNA APLICACION DE TRIGONOMETRIA: ¿COMO MEDIR LA SUPERFICIE DE UNA PARCELA CON
SOLO UNA CINTA METRICA?
Los agrimensores profesionales que se dedican a medir el campo cuentan,
normalmente, con un teodolito para medir ángulos y una cinta métrica. Midiendo
ángulos, es fácil calcular un área, pero el teodolito es un aparato de alto
precio.
Tan sólo con una soga bien larga y una cinta métrica para medirla, se
puede obtener también fácilmente la superficie de una parcela MNPQ (un cuadri-
látero que no es paralelogramo ni trapecio).
.N
. M
.P
. Q
Llamemos MN = m, NP = n, PQ = p, QM = q y MP = l.
El problema lo resolvió ya Herón de Alejandría, en el siglo I mediante
lo que hoy se llama fórmula de Herón. La fórmula proporciona el área de un
triángulo del que se conocen las longitudes de los lados.
El área S del triángulo ABC (AB = c, BC = a, CA = b) viene dada por
________________
S = ¹p(p-a)(p-b)(p-c) siendo p el semiperímetro del triángulo:
p = « (a+b+c).
Observemos que entonces
p-a = « (b+c-a)
p-b = « (c+a-b)
p-c = « (a+b-c)
La demostración de esta fórmula es sencilla mediante la trigonometría.
En el triángulo ABC llamando h(a) a la altura correspondiente al vértice A se
puede escribir
S = « a h(a) = « a c sen B , luego sen B = 2 S / (a c)
y también
b² = a² + c² - 2 a c cos B , luego cos B = (c²+ a²- b²)/(2 a c).
Por lo tanto
4 S² (c²+ a² - b²)² 16 S² + (c²+ a²- b²)²
1 = sen²B + cos²B = ------ + --------------- = ----------------------
a²c² 4 a²c² 4 a²c²
y así despejando S² obtenemos:
4 a²c²- (c²+a²-b²)² (2ac + c²+ a²- b²)(2ac - c²- a²+ b²)
S² = -------------------- = ------------------------------------- =
16 16
[(a+c)²- b²] [b²- (a-c)²] (a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)
= -------------------------- = ----------------------------= p(p-a)(p-b)(p-c).
16 16
Luego, para calcular el área de la parcela, sólo hay que medir con la
soga los lados m, n, p, q y la diagonal l.
Por ejemplo si m = 25 cm, n = 20 cm, p = 30 cm, q = 35 cm y l = 40 cm
resulta que el área buscada es 712,87 cm².
