R A M A A M A R I L L A X I I I
SISTEMAS LINEALES (III)
CONSIDERACIONES FINALES
El método de escalonamiento no depende de ninguna hipótesis sobre el
determinante de A (que es un obstáculo en la Regla de Crámer).
Si el sistema fuera incompatible, se llega a una tercera ecuación de
la forma 0.z = m con m distinto de cero; y, si fuera indeterminado, a la ecua-
ción 0.z = 0.
Desgraciadamente, suele cometerse el grave error de aplicar la regla
de Cramer en los casos en los cuales el det A = 0. Puesto que, aún cuando (en
casos 3 x 3 ) los cuatro determinantes que deben calcularse sean nulos, es
FALSO concluir que el sistema sea indeterminado ( y aún en los casos en que lo
es, no obtenemos el conjunto de soluciones). Véase el siguiente ejemplo:
x + 2y + 3z = 1
2x + 4y + 6z = 2
3x + 6y + 9z = 4
Los determinantes que deben calcularse para aplicar la regla de Cramer
son todos nulos y, sin embargo, el sistema es claramente incompatible.
En efecto, si existiera solución (x,y,z)
x + 2y + 3z = 1
multiplicando por 3 se obtiene 3x + 6y + 9z = 3
comparando con la tercera ecuación 3x + 6y + 9z = 4 se llega al ABSURDO
3 = 4.
PROPUESTA DE EJERCITACION
Resolver los sistemas:
2x + 4y - 2z = 2
i) x + y - 3z = -4
x + 3y = 4
2x + y - z = 3
ii) x + 2y = 4
2x + y + z = 3
-3x + y = -4
iii) -2y + z = 3
-3x - y + z = -1
2x + y - 2z = 1
iv) -2x + 4y - z = 1
2x - 4y + z = 1
v) En un álbum de fotos vemos 2 fotografías de un niño, su padre y su abuelo.
La primera fue tomada hace 3 años y la segunda el año pasado. La edad que te-
nía el abuelo en la primera fotografía duplicaba a la del padre. La edad que
tenía el padre cuando se tomó la segunda fotografía era el triple de la edad
del niño. Si hoy las 3 edades suman 111, ¿qué edad tiene cada uno de ellos?
A modo de ejemplo, resolvamos i). Para obtener el sistema escalonado
debemos operar con los coeficientes, podemos escribirlos "solos":
2 4 -2 | 2
1 1 -3 | -4
1 3 0 | 4
Multiplicando por 2 la 2º y la 3º y restándolas de la 1º ecuación ob-
tenemos, reemplazando en 2º y 3º
2 4 -2 | 2
0 2 4 | 10
0 -2 -2 | -6
Finalmente sumamos la 2º con la 3º para reemplazar en la 3º:
2 4 -2 | 2
0 2 4 | 10
0 0 2 | 4
Queda el sistema escalonado
2x + 4y - 2z = 2
2y + 4z = 10
2z = 4
cuya solución es (1,1,2).
