R A M A   A M A R I L L A   X I I





              SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Continuación)





METODO DE SOLUCION POR ESCALONAMIENTO

        El método consiste en sustituir el sistema (S) por otro (S') que sea

equivalente (es decir que tenga el mismo número de soluciones que el anterior)

de manera que (S') sea escalonado.

        Diremos que un sistema es escalonado cuando la primera incógnita con

coeficiente no nulo de una ecuación, está ubicada a la derecha de la primera

variable con coeficiente no nulo de la ecuación anterior.

Por ejemplo

                2 x - 3 y + 5 z = 1

                      2 y + 3 z = 2

                            4 z = 8

es un sistema escalonado.

        Un sistema escalonado se resuelve fácilmente de abajo hacia arriba:

la última ecuación da el valor de z; sustituyendo ese valor en la segunda se

obtiene y, etc.

        Para pasar del sistema (S) a un sistema escalonado equivalente, se

sustituye la segunda ecuación por a(2) veces la primera menos a(1) veces la

segunda (será equivalente si a(1) no es cero). Esto elimina el término en x

de la segunda ecuación. De modo análogo se elimina x de la tercera ecuación.

        Dejando en paz la primera ecuación, se usa el mismo procedimiento para

las dos últimas ecuaciones (en las que x ya fue eliminado) para eliminar y de

la tercera ecuación.

        En el caso en que a(1) = 0, reordenando las ecuaciones se obtiene un

sistema equivalente con a(1) distinto de cero.

        Si al suprimir x de alguna ecuación, también resulta suprimido y de

alguna ecuación se pueden reordenar las dos últimas ecuaciones, y nos resulta-

rá el sistema escalonado.

        Por ejemplo, si aplicamos el escalonamiento al sistema (1) obtenido en

el ejemplo introductorio, resulta el sistema escalonado

                         6 x + 5 y +  4 z = 47

                              21 y + 24 z = 183

                                    153 z = 765

el cual resuelto de abajo hacia arriba da

                                z = 5 , y = 3 , x = 2 .

        La regla de Cramer, sólo se aplica en el caso que det A sea distinto

de cero (siendo A la matriz formada por los coeficientes del sistema) o sea

en el caso en el que el sistema tiene solución única. Ya vimos que son 8 las

posiciones relativas de 3 planos en el espacio. La posición en que esos tres

planos se intersecan en un sólo punto es apenas una de las ocho. El método de

escalonamiento no depende de ninguna hipótesis sobre el determinante de A. Si

el sistema es incompatible se llega a una ecuación de la forma 0 . z = m , con

m distinto de cero; y si fuera indeterminado, a una ecuación 0 . z = 0 , con

lo cual el sistema se resuelve con las otras ecuaciones.