Clase 6 - Potencia de un punto
Esperamos sus mails en educabri@oma.org.ar.
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Antes de comenzar esta clase deben asegurarse que saben bien el tema de ángulos inscriptos en una circunferencia y semejanza de triángulos. Si necesitan repasar un poco sobre ángulos inscriptos pueden echar un vistazo a la clase 8 de Educabri 98; si, en cambio, quieren ver algo de semejanza de triángulos pueden ver la clase 20 del mismo curso.
Comencemos con un problemita ...
ABCD es un trapecio rectángulo (los ángulos ABC y BCD son rectos). Se trazan dos circunferencias que tienen a los lados AB y CD como diámetros. Estas circunferencias se cortan en los puntos P y Q. La recta que pasa por P y Q corta al lados BC en M. Probar que M es el punto medio de BC.
Bueno, ¿salió? Si no, no importa, después volvemos al problema.
Si uno tiene una circunferencia K y un punto exterior P, y traza dos rectas cualesquiera que pasen por P y corten a K en A, B y C, D respectivamente, ocurre que PA . PB = PC . PD, y ése valor (que depende sólo de P y de la circunferencia) se llama potencia de P con respecto a la circunferencia K.
Vamos a demostrarlo:
Como el cuadrilátero ABCD es inscriptible, BAD + DCB = 180° y como BAD + PAD = 180° entonces PAD = PCB. De la misma forma, PDA = PBC. Con esto probamos que los triángulos PAD y PCB son semejantes.
Entonces, PA / PD = PC / PB, o lo que es lo mismo, PA . PB = PC . PD. ¡Listo!
Ahora, ¿qué pasa si una de las rectas es tangente a K? Bueno, la cosa es simple. Si E es el punto de tangencia, entonces PE² = PA . PB = PC . PD. Entonces, la potencia del punto, depende directamente de la longitud de la tangente a la circunferencia.
Cuando P es interior a la circunferencia, el asunto es similar. Al trazar las dos rectas que cortan en A, B y C, D, ocurre que P queda entre A y B y entre C y D. Y entonces PA . PB = PC . PD de nuevo. La demostración es la misma. Piénsenla ...
Ahora estamos más preparados para resolver el problema que te planteamos al principio. Según las cosas que acabamos de aprender, MC² = MQ . MP, y además MB² = MQ. MP también. Entonces debe ser MC² = MB², y, por lo tanto, MC = MB (acuérdense que los segmentos no pueden medir una longitud negativa), que es lo que queríamos demostrar.
Problemas
1. Probar que la potencia desde un punto P a una circunferencia de centro O y radio R equivale al número OP² - R². ¿Qué pasa cuando P es interior a la circunferencia? ¿Y cuando P está sobre la circunferencia?
2. Dada una circunferencia K y un punto P en su exterior construir una recta que pase por P y que interseque a K en A y B de modo que A sea el punto medio de PB.
3. En el triángulo acutángulo ABC los puntos O y H son su circuncentro y su ortocentro, respectivamente. Sea M el punto medio de AB y D es el pie de la altura desde C. Demostrar que 4 OM . DH = BD . DC.
ACLARACIÓN: El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al mismo. El ortocentro del triángulo es la intersección de las alturas.
4. Sean C y K dos circunferencias que se cortan en A y B. Hallar un punto P en su exterior de modo que las tangentes desde P a ambas circunferencias mida lo mismo. ¿Podés encontrar otro punto P con la misma propiedad?
Así terminamos la sexta clase de EduCabri 2000, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.
Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntenos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .
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