Clase 20 - Triángulos semejantes

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¡Hola a todos! Estamos de vuelta. Como el año pasado, todos los martes iremos agregando una nueva clase al curso. Pero quisimos publicar la primer clase de este año el lunes ¡para evitar la mala suerte!

Antes de seguir con esta clase, te recomendamos que re-leas la clase 18, sobre el teorema de Thales y la clase 19. Esos temas están muy relacionados con el de esta clase.

Parte 1. Actividades.

1.1 El triángulo de los puntos medios.

1. Creá un triángulo ABC.
2. Marcó los puntos medios M, N y P de AB, BC y CA respectivamente.
3. ¿Qué relación hay entre los ángulos de ABC y MNP? (Esto estaba como ejercicio en la guía 18.)
4. ¿Qué relación hay entre las medidas de los lados de ABC y MNP?

Los triángulos con estas propiedades se llaman semejantes. Pero antes de dar una definición mejor, veamos otro ejemplo.

1.2 Dos triángulos semejantes.

1. Creá un triángulo ABC.
2. Marcá un punto R en AB tal que BR = 2 AR y un punto S en AC tal que CS = 2 AS. (Podés usar lo que aprendiste en la clase 19.)
3. Probá que los segmentos RS y BC son paralelos. (Ahora usá la clase 18.)
4. ¿Qué relación hay entre los ángulos de ABC y ARS?
5. ¿Qué relación hay entre las medidas de los lados de ABC y ARS?

Ya podemos definir. Decimos que dos triángulos son semejantes si los ángulos de uno son iguales a los ángulos del otro.

La propiedad más importante de estos triángulos es la relación que existe entre las medidas de los lados. Con los ejemplos anteriores, podés intuir la propiedad.

Por las dudas, la escribimos. Los lados de dos triángulos semejantes son proporcionales.

Más específicamente, si ABC y DEF son semejantes (con <A = <D, <B = <E y <C = <F) entonces

Nota: los ángulos iguales entre los triángulos se llaman correspondientes.

1.3 Construcción de un triángulo semejante.

1. Creá un triángulo ABC.
2. Creá un segmento PQ cualquiera.

Nos proponemos construir un triángulo PQR, semejante a ABC.

Con la macro de traslación de ángulos de la clase 16 no es difícil:

3. Trasladá el ángulo ABC sobre PQ y el ángulo CAB sobre QP.
4. Marcá la intersección de las rectas trazadas. Este es el punto R.
5. ¿Porqué son semejantes los dos triángulos?
6. Verificá que se cumple la propiedad sobre las medidas de los lados.

La última pregunta fue fácil. Hay dos ángulos que sabemos que tienen iguales por cómo hicimos la construcción. Entonces el tercero tiene que ser igual, porque mide 180^o menos la suma de los otros dos.

Descubrimos así una forma útil de saber si dos triángulos son semejantes:

• Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, entonces son semejantes.

Esto se llama criterio de semejanza de triángulos. En la próxima clase vamos a ver más criterios. Pero podés ir tratando de descubrirlos.

Parte 2. Problemas

2.1 En el triángulo PQR, <PST = <PRQ (donde <PST significa "el ángulo PST") y las medidas de algunos segmentos están dadas. ¿Cuánto mide PQ?

2.2 Sea S una circunferencia. Se trazan dos rectas r y s, secantes a S, que se cortan en un punto P. Probar que los triángulos PAC y PBD son semejantes. ¿Cuáles son los ángulos correspondientes?

Así terminamos la vigésima clase de EduCabri 98, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene ofreceremos una nueva clase.

Mientras tanto es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .

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