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Bases de Numeración

Números no enteros en otras bases

Hasta ahora en todas las bases que vimos para pasar de una cifra a la siguiente es necesario multiplicar siempre por el mismo número, por ejemplo en base 10 cada cifra vale 10 veces más que la anterior. También se pueden crear bases en las que se fija un número distinto para cada posición dentro del número. En este caso para que cada número se pueda escribir de una única manera hay que pedir que la cifra en cada posición sea menor que el número necesario para pasar a la siguiente cifra. Como no son muy usadas, no hay una notación utilizada por todo el mundo, así que lo que vamos a hacer es escribir la lista de los numeritos en el lugar que poníamos la base. Por ejemplo a un numero escrito en base 10 le correspondería :

314=314₁₀=314_10,10,10

Porque en todas las posiciones usamos 10. Si en cambio si para la última cifra usamos un 2, para la penúltima un 5, para la anterior un 2, luego un 5 y así sucesivamente tenemos :

130411₂₅₂₅₂₅=(((((1)*5+3)*2+0)*5+4)*2+1)*5+1=846

o también se lo puede escribir como

130411₂₅₂₅₂₅=1*5*2*5*2*5+3*2*5*2*5+0*5*2*5+4*2*5+1*5+1=846

Para escribir un número en base 10 en una de estas bases, se puede utilizar el mismo método que antes, pero en este caso en cada división hay que usar el número que corresponde. Vemos un ejemplo :

846 |5
  1 \----
     169  |2
       1  \----
           84   |5
            4   \----
                 16   |2
                  0   \----
                       8    |5
                       3    \----
                             1

Así que 846=130411₂₅₂₅₂₅ .

El único ejemplo que encontramos de algo parecido a este tipo de bases en la vida real es cuando juntamos los minutos y segundos y centésimas de un reloj como si fueran una tira de números de una cifra. Así las dos correspondientes a las centésimas varían de 0 a 9 y los minutos y segundos, tienen una cifra que varia de 0 a 5 y otra que va de 0 a 9, por ejemplo 37 minutos, 14 segundos y 23 centésimas = 371423_{6,10,6,10,10,10}

Se puede usar cualquier otra sucesión para las números de la base, por ejemplo la de los primos:

A12101_{...13,11,7,5,3,2}=10*2310+1*210+2*30+1*6+0*2+1= 23377

(Como la sexta cifra puede valer entre 0 y 12, para los valores mayores que 10 usamos letras como habíamos visto en base 16, en este caso 10=A.)

Otro ejemplo interesante es si tomamos la sucesión de los naturales empezando del 2, o sea 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... . En este caso cada cifra queda multiplicada por el factorial de la posición. Para indicar esta base se acostumbra poner un signo de admiración (!) en el lugar de la base.

24201_! =2*5*4*3*2+4*4*3*2+2*3*2+0*2+1 =2*5!+4*4!+2*3!+0*2!+1*1! =709

De la misma manera se pueden definir para los números no enteros utilizando en este caso la misma sucesión. 210,1102_! =2*3!+1*2!+0+1/2!+1/3!+0/4!+2/5!= 14,68333...

Una gran ventaja de esta base respecto de las convencionales es que todo numero racional (o sea todas las fracciones) se pueden escribir utilizando una cantidad finita de cifras. Esto se ve al notar que uno puede sacar como divisor común al número que divide al último decimal no nulo, por ejemplo : 210,1102_! =2*3!+1*2!+0+1/2!+1/3!+0/4!+0/5! =(2*3!*5!+1*2!*5!+0*5!+1*3*4*5+1*4*5+0*5+0)/5! 12,37 =(1*1000+2*100+3*10+7)/100

En una base convencional entonces el número se puede escribir con una cantidad finita de cifras si es de la forma algo/baseⁿ para algún n. La fracción irreducible que corresponde a nuestro número es a/b donde a y b no tienen factores comunes, entonces a/b=algo/baseⁿ y por lo tanto a*baseⁿ =b*algo .

Si al factorizar b en primos uno obtiene un primo que no divide a la base, entonces tampoco va a dividir a baseⁿ para ningún n, y tampoco a a, porque sino la fracción no sería irreducible. Así que tenemos un primo que divide a b*algo, pero no divide a a*baseⁿ. Como la factorización es única esto es imposible, así que en este caso el número tiene infinitas cifras en su desarrollo.

En cambio en base factorial que tenga finitas cifras significa que es de la forma algo/n!. como caso extremo podemos tomar n=b así que nos queda a/b=algo/b!, por lo que algo=a*(b-1)!que es entero así que lo podemos escribir.

Sumar y restar en estas bases sigue siendo relativamente fácil, pero ahora multiplicar y dividir es casi imposible, ya que no hay nada parecido a una "tabla de multiplicar" porque los valores varían de posición a posición. Algo muy curioso es que al multiplicar dos números terminados en cero, el resultado ¡¡¡¡puede no terminar en dos ceros!!!!

10_!*10_!=2*2=4=20_!

Lo que todavía se puede hacer es multiplicar por un número chico(por ejemplo 5) de una manera parecida a la que vimos para las bases usuales.

3101_!*5 = (15)(5)0(5)_! =(15)(5)21_! =(16)221_! =(16)121_! =31121_!

Algunas bases más raras

El concepto de base se puede seguir extendiendo damos algunos ejemplos que tienen alguna utilidad (aunque explicarla nos podría llevar una lección más así que quedan solo como ejemplos)

*bases negativas : Tiene la ventaja que no tanto los números positivos y negativos se pueden escribir sin poner un - adelante, pero por otra parte al ver $1000_-10 uno no sabe si tiene o debe plata :) .

*bases con coeficientes complejos: por ejemplo si uno toma base 2, pero permite como "cifras" a 0, 1, (1+i*Raiz(3)/2 y (1-i*Raiz(3)/2 ¡se pueden escribir cualquier número complejo!

*base Fibonacci: Cada posición vale su correspondiente número de Fibonacci, y las únicas cifras permitidas son 0 y 1, pero nunca se pueden poner dos 1 seguidos (¿por qué?) (¡En esta base no se pasa de una posición a la siguiente multiplicando!)

Ejercicios:

1. Escribir un programa que pregunte el nominador y denominador de una fracción y una base y diga si se escribe en esa base con una cantad finita de cifras.
   
2. Escribir un programa que pregunte el nominador y denominador de una fracción y diga si el número se escribe en base 10 con una cantidad finita de cifras. (El programa debe permitir que el nominador y el denominado tengan muchas cifras, por ejemplo 1000)
   
3. Escribir un programa que pase fracciones a base factorial.
   
4. Escribir un programa que sume y reste números en base factorial.

Lecciones siguientes:

Las cifras de e