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Enunciado

Problema 2, Primera Ronda CyM 2000, Nivel 1:
Una acaudalada anciana tiene gran cantidad de lingotes de oro de tres tipos: por valor de $56, de $106, y de $127. ¿Cuál es la menor cantidad de lingotes que puede usar para depositar exactamente $5409 en una caja de seguridad de un banco?

Primero vamos a escribir la ecuación en papel. Llamamos x a la cantidad de lingotes de $56 que deposita la señora. Así que en lingotes chiquitos deposita x · 56 pesos.

De la misma manera llamamos y a la cantidad de lingotes de $106 y z a la cantidad de lingotes de $127.

En total la anciana deposita en el banco x · 56 + y · 106 + z · 127 pesos. El total que deposita es de 5409 así que queda para resolver x · 56 + y · 106 + z · 127 = 5409 .

Notamos que x no puede ser muy grande, porque si usara por ejemplo 1000 lingotes de $56, el depósito sería demasiado grande. La máxima cantidad de lingotes pequeños que puede utilizar es 5409/56 = 96,589..., o sea que x está entre 0 y 96 (ambos extremos incluidos).

 De la misma manera y está entre 0 y 51 porque 5409/106 = 51,028... y z está entre 0 y 42 porque 5409/127 = 42,590... . Así que hay que probar sólo 97 · 52 · 43 <= 200000 posibilidades, que para la computadora son pocas.

Vamos a escribir un programa que encuentra todas las combinaciones de x, y y z que cumplen la ecuación y después vamos a elegir a mano la que utiliza menos lingotes.

El programa en QB

Dim X as Long
Dim Y as Long
Dim Z as Long
Print " X", " Y", " Z", " Total"
For X = 0 To 97
  For Y = 0 To 51
    For Z = 0 To 42
      If X*56+Y*106+Z*127=5409 Then
        Print X, Y, Z, X + Y + Z
      End If
    Next Z
  Next Y
Next X

 X     Y     Z     Total
 2     32    15    49
 5     40    7     52
 7     3     37    47
 10    11    29    50
 13    19    21    53
 16    27    13    56
 19    35    5     59
 24    6     27    57
 27    14    19    60
 30    22    11    63
 33    30    3     66
 38    1     25    64
 41    9     17    67
 44    17    9     70
 47    25    1     73
 55    4     15    74
 58    12    7     77
 72    7     5     84
 86    2     3     91

En papel nuevamente
(Es importante escribirlo en papel.)

El programa muestra en cada caso el total de lingotes para poder buscar más fácilmente el menor a ojo.
Mirando la pantalla buscamos la combinación con la menor cantidad de lingotes que puede usar la señora : 7 lingotes de $56, 3 lingotes de $106 y 37 lingotes de $127.

Comentarios al margen

También se puede hacer que la computadora elija automáticamente la combinación con menos lingotes.

Otra posibilidad es usar dos ciclos for para elegir x e y. En cada caso despejar z y fijarse si es un número entero. Esto anda un poco más rápido por que no prueba con todos los valores de z, uno por uno.

Recuerden escribir la respuesta del problema en papel (con letra prolija).

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