R A M A V E R D E X X I V
TECNICAS DE CONTEO
1000
Demostrar que entre los enteros 1 a 10 inclusive, la fracción de los que
solo utilizan los dígitos 2 y 5 es
1 1
2 ( ----- - ------ )
1000 1000
5 10
INTRODUCCION
A menudo nos encontramos con preguntas del tipo
¿qué proporción de...?
¿Cuál es la probabilidad de...?
¿De cuántas maneras se puede...?
Muchas veces, para responder, se necesita un pensamiento sistemático y
un poco de información adicional; por ejemplo, ¿cuántas rutas diferentes puedo
usar para ir de Buenos Aires a Luján? o ¿De cuántas maneras pueden quedar los
3 primeros puestos en una carrera de 6 caballos?
Hay técnicas y principios matemáticos útiles en situaciones variadas,
pero muchas preguntas se pueden responder directamente, contando en forma sis-
temática, es decir, listando todos los posibles resultados en un orden siste-
mático, para luego contar cuántos son o desarrollando reglas de conteo.
Algunas soluciones parecen ingeniosas cuando se ven por primera vez
(y muchas veces lo son) pero, como decía George Polya, cuando podemos aplicar
nuevamente estos métodos ingeniosos en problemas similares y en situaciones
relacionadas entre sí, hemos desarrollado una técnica.
Hay varias maneras de encarar el problema con el que iniciamos este
capítulo. Lo que haremos es enunciar 4 principios que te ayudarán a resolver
muchísimos problemas de conteo, daremos ejemplos de cómo usar estos principios
y finalmente veremos algunos métodos menos rutinarios y más ingeniosos.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION
Ejemplo:
El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas
maneras se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre?
Podríamos hacer una lista de todas las posibilidades, pero será mucho más có-
modo aplicar el principio de la multiplicación:
Hay 3 maneras de elegir el plato caliente y para cada una de ellas hay 4 mane-
ras de elegir el postre. Por lo tanto, hay 3.4 = 12 comidas posibles.
Ejemplo:
¿Cuántos códigos de una letra y un número de un dígito se pueden formar con
las 26 letras del alfabeto y los números 0, 1, 2, ...,9?
Podríamos listar todas las posibilidades
A0 A1 .... A9
B0 B1 .... B9
..........................
Z0 Z1 .... Z9
hasta obtener 26 filas de 10 códigos en cada una. 26.10 = 260.
Es más simple utilizar el principio de la multiplicación: hay 26 maneras de
elegir la letra y para cada una de ellas hay 10 maneras de elegir el número,
de modo que son 26.10 = 260 maneras en total.
Observemos que en los 2 ejemplos hay total libertad de elegir el se-
gundo elemento, no importa cómo se eligió el primero. Es decir, el segundo
elemento es independiente del primero.
Elegido el plato caliente, podemos elegir cualquiera de los 4 postres.
Elegida la letra podemos agregarle cualquiera de los 10 números.
SI UNA OPERACION SE PUEDE HACER DE n MANERAS DIFERENTES Y SI EN CADA CASO,
UNA SEGUNDA OPERACION SE PUEDE HACER DE m MANERAS DIRFERENTES, ENTONCES HAY
mn (m POR n) MANERAS DE REALIZAR LAS DOS OPERACIONES.
Ejercicios:
1. ¿De cuántas maneras se pueden formar en fila 5 chicos?
2. ¿De cuántas maneras puede resultar un sorteo que consta de un primer premio
y un segundo premio en una clase de 25 alumnos?
3. ¿Cuántos enteros entre 100 y 999 tienen todos sus dígitos distintos?
4. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar usando sólo los dígitos 3, 7
y 8? (incluir todos los números con dígitos repetidos).
