R A M A V E R D E X X I I
Una figura del plano limitada por rectas se llama polígono. El poligo-
no con todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llama regular. Un polí-
gono con todos sus ángulos menores que 180º se llama convexo.
Ejemplo:
Hallar la suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo.
Solución: Trazamos la línea auxiliar A /\
AC de modo que el cuadrilátero quede / b.a\
"triangulado". /x . \
En el ABC, x + b + c = 180º. B \ . \
En el ADC, a + d + z = 180º. \ c. \
\_d______z_\D
La suma de los ángulos A, B, C, D es C
(a+b) + x + (c+d) + z = (x+b+c) + (z+a+d) = 360º
La suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo es igual a 360º = 4 rectos.
Ejemplo: Cada lago del hexágono convexo se prolonga para formar los ángulos
exteriores
/zº
/_____________
/ fº aº\ uº
/ \
\ yº/ \
Hallar u + v + w + x + y + z \ eº bº \
\ / vº\
xº\ dº cº /
____\__________/
wº/
/
Solución: Igual que en el ejemplo anterior, triangulando el hexágono
A
._____________
/. . . \B
/ . . . \
\ F / . . . \
\ . . .\
\ . . / C \
\ . . /
__E_\_________./
D/
/
La suma de los ángulos de los triángulos ABC, ACD, ADE y AEF es 180º por lo
tanto, la suma de los ángulos del hexágono es 4.180º = 8 rectos.
Cada ángulo uº, vº, wº, xº, yº, zº es el suplemento de un ángulo interior del
hexágono. Luego
( u + a ) + ( v + b ) + ... + ( z + f ) = 6 . 180º
u + v + w + x + y + z + a + b + c + d + e + f = 6. 180º
Por lo tanto,
u + v + w + x + y + z = 6 . 180 - ( a + b + c + d + e + f) =
= 6 . 180 - 4 . 180 = 2 . 180 = 360.
La suma de los ángulos exteriores de un hexágono convexo es 360º = 4 rectos.
EJERCICIOS
23- Hallar la suma de los ángulos interiores de un pentágono convexo.
24- Completar las tablas:
(a) Suma de los ángulos interiores de polígonos convexos
_____________________________________________________________________
|número de lados| Suma de los ángulos interiores (expresada en rectos)|
|---------------|-----------------------------------------------------|
| 3 | |
|---------------|-----------------------------------------------------|
| 4 | |
|---------------|-----------------------------------------------------|
| 5 | |
|---------------|-----------------------------------------------------|
| 6 | |
|---------------|-----------------------------------------------------|
| . | |
| . | |
| . | |
|---------------|-----------------------------------------------------|
| n | |
---------------------------------------------------------------------
(b) Suma de los ángulos exteriores de polígonos convexos
_____________________________________________________________________
|número de lados| Suma de los ángulos exteriores (expresada en rectos)|
|---------------|-----------------------------------------------------|
| 3 | |
|---------------|-----------------------------------------------------|
| 4 | |
|---------------|-----------------------------------------------------|
| 5 | |
|---------------|-----------------------------------------------------|
| 6 | |
|---------------|-----------------------------------------------------|
| . | |
| . | |
| . | |
|---------------|-----------------------------------------------------|
| n | |
---------------------------------------------------------------------
25. Los lados AB y DC de un polígono regular convexo de 9 lados ABCDEFGHI se
prolongan hasta su intersección J. Hallar la medida del ángulo BJC.
26. Hallar el número de lados que tiene un polígono regular convexo si cada
ángulo interior mide 144º.
