R A M A V E R D E V I I I
NUMEROS FIGURADOS
REGULARIDADES CON PUNTOS
Números alineados:
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1 2 3 4 5
Números triangulares:
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1 3 6 10 15
Números cuadrados:
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1 4 9 16 25
Números pentagonales: .
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1 5 12 22
Podemos crear modelos sobre la silueta de cualquier polígono. La cantidad
de puntos en cada modelo se llama "número poligonal" o "número figurado".
Hemos visto en la entre anterior que los números triangulares forman la su-
cesión
1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ...
y que el n-ésimo término, o sea el n-ésimo término triangular es:
T(n) = n (n + 1) / 2 = ( n²+ n ) / 2
¿Cuál es el 20º número triangular?
Para continuar en este tema, necesitamos un poquito de álgebra. Acá va:
Algebra al margen: cuadrado del binomio.
(a+b)²= (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a²+ ab + ba + b² = a²+ 2 ab + b².
(n+1)²= (n+1)(n+1) = n(n+1) + 1(n+1) = n²+ n + n + 1 = n²+ 2n + 1.
Para no olvidar estas igualdades, desarrollá y simplificá:
(2n+1)² = .....................................= 4n²+ 4n + 1.
(2n+3)² = .....................................= 4n²+12n + 9.
(5n+2)² = .....................................= 25n²+20n + 4.
(2n-1)² = .....................................= 4n²- 4n + 1.
Ahora sí, algunos ejercicios:
1) Los números triangulares se forman como suma de la sucesión aritmética
1, 2, 3, ....
(a) Hallar la sucesión aritmética a partir de la cual se forman los núme-
ros cuadrados (tomando sumas adecuadas).
(b) Hallar una expresión para el n-ésimo número cuadrado.
(c) Sea Q(n) el n-ésimo número cuadrado y T(n) el n-ésimo número triangu-
lar.
(i) Mostrar que Q(5) = 2 T(5) - 5
Q(7) = 2 T(7) - 7
(ii) Ilustrar con un diagrama que Q(4) = 2 T(4) - 4
(iii) Mostrar que Q(n) = 2 T(n) - n.
(d) (i) Mostrar que Q(5) = T(4) + T(5); Q(7) = T(6) + T(7).
(ii) Ilustrar con un diagrama que Q(4) = T(3) + T(4).
(iii) Mostrar que Q(n) = T(n-1) + T(n).
2) El cuadrado del cubo de un número es igual al cubo del cuadrado del mismo
número.
2 3 3 2
Por ejemplo, (2 ) = (2 ) .
2 3 3 2
O sea,(n ) = (n ) .
La pregunta es: si se calcula el n-ésimo número triangular y se lo eleva al
cuadrado, ¿es lo mismo que si se calcula el n²-ésimo número triangular?
(¿Es ( T(n) )² = T(n²) ? ). Probar primero con algunos valores de n.
3) (a) Hallar T(2)²+ T(3)². El número obtenido, ¿es triangular?
Si la respuesta es afirmativa, ¿cuál es el n tal que T(n) = T(2)²+ T(3)²?
¿Qué relación hay entre n, 2 y 3?
(b) Hallar T(3)²+ T(4)² y T(4)²+ T(5)². Contestar las mismas preguntas que
en la parte (a).
(c) Formular una conjetura general:
T(n)²+ T(n+1)²= ....................
CONTINUARÁ
