R A M A   A Z U L   V I I



                        EL PRINCIPIO DE DIRICHLET





        Imaginemos 21 palomas introduciéndose en los 20 agujeros de un palo-

mar. Es claro que al menos dos de las palomas se meterán en el mismo agujero.

Este simple hecho recibe el nombre de Principio de Dirichlet o Principio del

palomar o también principio de los casilleros. Si las palomas fueran 41 y 20

los agujeros del palomar, podemos asegurar que por lo menos tres de las palo-

mas se han metido en el mismo agujero. En general: si se quieren distribuir

n objetos en k casilleros ( n > k ), habrá algún casillero con al menos

        [ (n-1) / k ] + 1

objetos. El símbolo [x] significa la parte entera de x; por ejemplo  [3,21]=3.

        El principio de Dirichlet dice básicamente, y sin pretender precisión,

que si hay muchas cosas y se meten en pocos casilleros, habrá bastantes en al-

gún casillero.

        Resolvemos un problema donde interviene este principio.

-Demostrar que en cualquier conjunto de 8 números enteros existen al menos dos

números a y b tales que (a-b) es múltiplo de 7.

       El resto de dividir un número por 7 es uno de los siete números enteros

entre 0 y 6. En consecuencia si tenemos un conjunto de 8 números, al menos dos

de ellos, a y b, tienen el mismo resto r en la división por 7.

Esto es:

         a = 7 q + r    y     b = 7 q' + r       donde r = 0 ó 0 < r < 7.

Por lo tanto  (a-b) = 7 (q - q') es múltiplo de 7.



PROBLEMA 1      Cumpleaños en el estadio

        A un estadio de fútbol han asistido 3700 espectadores. ¿Cuántos de

ellos, como mínimo, cumplen años el mismo día?

 

PROBLEMA 2      El once

        Si del subconjunto de números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

extraemos 6 números, con seguridad habrá dos que suman 11.

 

PROBLEMA 3      La mesa giratoria

        15 personas tienen sus lugares reservados mediante una tarjeta con su

nombre en una mesa circular. Se sientan al azar y ninguna de ellas ocupa el

lugar que le corrrespondía.

        Demostrar que, girando la mesa, es posible conseguir que por lo menos

2 de las personas queden ubicados delante de la tarjeta con su nombre.

 

(Sug: para cada una de las personas p(i), ( i es mayor o igual que 1 y menor

o igual que 15), considerar desde su ubicación inicial:

        d(i) = cantidad de lugares que debe desplazarse p(i) en sentido - por

ejemplo- antihorario, para ubicarse en el lugar que tiene su tarjeta.

Es d(i) mayor o igual que 1 y menor o igual que 14 para todo i = 1, 2,...,15.)

 

PROBLEMA 4      Los multiplos de 11.

Demostrar que hay infinitos múltiplos de 11 de la forma 19951995...1995.