RAMA AZUL I
¿QUE ES UN PROBLEMA?
La mayoría de los ejercicios que se presentan en los libros de texto
no son verdaderos problemas, sino sugerencias para ejercitar técnicas y herra-
mientas que se han presentado en el capítulo correspondiente. Un verdadero
problema es una situación que se presenta, en la cual se sabe más o menos ( o
con toda claridad) a DONDE se debe llegar pero no se sabe COMO llegar. La
principal dificultad consiste en aclarar la situación y dar con algún camino
adecuado (una estrategia) que nos lleve a la meta. A veces no se sabe si la
herramienta adecuada para la situación planteada está en la colección de téc-
nicas que dominamos, o ni siquiera si se ha creado una técnica que pueda ser
suficientemente potente para resolver el problema. Esta es, precisamente, la
circunstancia del investigador, en matemática y en cualquier otro campo y, por
otra parte, ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra
vida cotidiana.
En sucesivas entregas vamos a ofrecer unas cuantas estrategias de
pensamiento para la resolución de problemas. Son algunos modos de proceder que
dan buen resultado para lograr resolver problemas matemáticos de diversa índo-
le.
La finalidad que perseguimos consiste, fundamentalmente, en mejorar
los procesos de pensamiento. Es por ello que los problemas que se presentan no
exigen conocimientos rebuscados, sino una utilización adecuada de nuestra ca-
pacidad de pensar. Algunos resultarán fáciles y otros no tanto. Tanto de los
que pueda resolver como de los que se resistan, podrá sacar gran provecho.
ESTRUCTURA DE LA PROPUESTA
Cada entrega tendrá:
*) Un grupo de problemas tendientes a ejercitar, en general, alguna
estrategia de pensamiento.
*) Algunas sugerencias que ayuden a resolver problemas de la entrega
anterior.
*) Breves descripciones de las herramientas útiles para resolver
algunos de los problemas propuestos.
Para empezar, intente resolver:
PROBLEMA 1: Las rectas concurrentes.
Se trazan 43 rectas en el plano concurrentes en un punto O. Ahora tra-
zamos una recta que no pasa por O y que no es paralela a ninguna de las 43 an-
teriores. ¿En cuántas regiones queda dividido el plano?
PROBLEMA 2: Muchos cuadrados.
Observe:
2 2 2 2
2 + 3 + 6 = 7
2 2 2 2
3 + 4 + 12 = 13
2 2 2 2
4 + 5 + 20 = 21
¿Cómo seguir? ¿Por qué sucede esto?
PROBLEMA 3: Las agujas del reloj.
Cuando es exactamente mediodía, las dos agujas del reloj aparecen
reunidas. ¿Cuándo, exactamente, volverán las agujas a juntarse?
(Por "exactamente" queremos decir que el tiempo deberá ser expresado con toda
precisión, hasta las fracciones de segundo).
PROBLEMA 4: El juego del 32.
Juan y José juegan al siguiente juego: Juan dice un número entre 1 y
4. A continuación José le suma un número entre 1 y 4 y así sucesivamente. Gana
el que llega al número 32.
Ud. debe encontrar, si es posible, una estrategia ganadora para Juan.
PROBLEMA 5: El metro "trucho".
Un vendedor de telas gana el 30% sobre el precio de costo. Pero un día
descubre un metro defectuoso que hace aumentar sus beneficios al 33%. ¿Cuánto
mide en realidad el metro "trucho"?
UNA ESTRATEGIA DE PENSAMIENTO: COMENZAR CON UN PROBLEMA SEMEJANTE MAS FACIL
A veces nos encontramos con problemas que resultan difíciles por su
tamaño, por presentar demasiados elementos que lo hacen complicado y oscuro.
En estos casos puede ser útil proponer un problema semejante, lo más sencillo
posible y resolverlo. De esta manera se consigue que aparezcan más transparen-
tes principios de solución que quedan confusos en medio de la complejidad del
problema inicial.
Consideremos el siguiente problema:
Sean p(x) y q(x) dos polinomios con coeficientes "invertidos":
4 3 2
p(x) = a x + b x + c x + d x + e
4 3 2 (1)
q(x) = e x + d x + c x + b x + a
donde a y e son distintos de cero.
¿Cuál es la relación entre las raíces de p(x) y las de q(x)?
No tenemos un procedimiento generalizado para encontrar las raíces de
un polinomio, mucho menos para comparar las raíces entre dos de ellos. Proba-
blemente, lo mejor que se puede hacer de momento es examinar algunos ejemplos
sencillos y esperar que a partir de ellos se pueda intuir algo. En lugar de
examinar un par de polinomios cualquiera, quizá sería mejor considerar un par
de ecuaciones cuadráticas, que por lo menos podemos resolver. Por tanto, ¿Qué
sucedería si
p(x) = a x² + b x + c, y
q(x) = c x² + b x + a?
Las raíces son
_______ _______
(- b ñ ¹ b²-4ac) / 2a y (- b ñ ¹ b²-4ac) / 2c respectivamente.
Esto ciertamente puede sugerirnos algo, ya que tiene el mismo numera-
dor, pero no se puede ver nada que pueda desarrollarse o que se preste a gene-
ralización.
Bien, aunque sólo sea por no pasarlo por alto, miremos el caso lineal.
Si
p(x) = a x + b y q(x) = b x + a , las raíces son
-b/a y -a/b, respectivamente.
Son recíprocas, pero esto no es muy interesante en sí mismo. Volvamos
a las cuadráticas. Todavía no intuimos lo que está pasando. Haremos un par de
ejemplos sencillos y buscaremos algún tipo de modelo. Quizá sería útil elegir
polinomios que puedan ponerse en forma de factores: de esta manera sería fácil
no perder de vista las raíces. Ahora bien, y ¿qué pasará con algo fácil como
(x+2)(x+3)?
Entonces p(x) = x²+ 5 x + 6 con raíces -2 y -3. De manera que
q(x) = 6 x²+ 5 x + 1 = (2 x + 1) (3 x + 1) con raíces -1/2 y -1/3.
Estas también son recíprocas. Esto comienza a ser interesante. Veamos:
p(x) = (3 x + 5) (2 x - 7) = 6 x²- 11 x - 35.
Las raíces son -5/3 y 7/2:
q(x) = -35 x²- 11 x + 6 = -(35 x²+ 11 x - 6) = -(7 x - 2) (5 x + 3)
Bien, las raíces son 2/7 y -3/5. Son recíprocas de nuevo, y esta vez
no puede ser por casualidad. ¿Y qué pasa con
p(x) = (a x + b) (c x + d) = ac x² + (bc + ad) x + bd? Entonces
q(x) = bd x²+ (bc + ad) x + ac = (b x + a) (d x + c).
Funciona de nuevo y creo que podemos generalizar...
Sean p(x) y q(x) como en (1), entonces las raíces de q(x) son las
recíprocas de las raíces de p(x).
En efecto, sea r una raíz de p(x), de forma de p(r) = 0. Obsérvese que
r es distinto de cero, ya que e es distinto de cero.
4 3 2
Además, q(1/r) = e (1/r) + d (1/r) + c (1/r) + b (1/r) + a =
4 2 3 4
= (1/r) ( e + d r + c r + b r + a r ) =
4
= (1/r) p(r) = 0, por lo que (1/r) es una raíz de q(x).
A la inversa, si s es una raíz de q(x), vemos que p(1/s) = 0 con lo
cual queda demostrado.
PROBLEMAS
PROBLEMA 6: Rectas en el plano
Se tienen 17 rectas en el plano. No hay tres de ellas concurrentes, ni dos
paralelas. ¿Cuántas regiones determinan?
PROBLEMA 7: Muchos unos y menos unos
En cada casilla de un tablero cuadrado de n x n, n impar, hay escrito un 1
ó un -1. Debajo de cada columna se escribe el producto de todos los números
de esa columna, y a la derecha de cada fila se escribe el producto de todos
los números de esa fila. ¿Es posible que la suma de los 2n productos sea dis-
tinta de cero?
PROBLEMA 8: El número 1000
El número 1000 puede ser descompuesto de muchas formas en sumandos enteros
positivos. ¿Cuál es la descomposición
1000 = a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(r)
tal que el producto
a(1).a(2).a(3). . . .a(r)
es máximo?
PROBLEMA 9: El dominó y el ajedrez
Luis y Juan juegan a menudo al siguiente juego: Sobre un tablero de ajedrez
uno coloca una ficha de dominó (no importa la numeración) ocupando dos casi-
llas del tablero. Luego el otro coloca otra ficha; luego el otro, ... El pri-
mero que no puede colocar su ficha, pierde.
Luis, amablemente, lo deja a Juan colocar primero... Pero siempre gana!
¿Cuál es la estrategia de Luis?
SUGERENCIAS
La estrategia presentada hoy es útil para resolver el problema 1 de la
entrega anterior(las rectas concurrentes). Con pocas rectas se puede hacer una
conjetura razonable que después habrá que probar
EXPERIMENTAR, OBSERVAR, BUSCAR PAUTAS, REGULARIDADES. HACER CONJETURAS.
TRATAR DE DEMOSTRARLAS
En matemática, las buenas ideas surgen muy a menudo a través de "expe-
rimentos". Los experimentos son de diverso tipo.Unas veces se trata de ensayar
en casos particulares la aparición de una cierta propiedad. Otras se trata de
mirar ciertas figuras, cambiándolas, introduciendo elementos auxiliares, a fin
de enlazar diversas situaciones y de establecer conexiones que sospechamos que
existen entre los objetos que manipulamos. Con el experimento y la observación
surge una "conjetura". Se sigue experimentando con nuevos casos poniendo a
prueba tal conjetura. Si esta resiste varias pruebas va adquiriendo más fuer-
za. Luego vendrá la tarea de dar con la razón por la cual la conjetura se ve-
rifica siempre, con la "demostración" de la conjetura.
PROBLEMA 10: Dígitos finales de las potencias
¿Cuáles son los digitos finales de las potencias de exponente 23 de los núme-
ros 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39?
PROBLEMA 11: Un número mágico
Se elige un número cualquiera de 3 cifras, no todas iguales, por ejemplo 373.
Se construye otro ordenando sus cifras de mayor a menor: 733. Ahora se las or-
dena de menor a mayor: 337. Al restar estos dos números se obtiene:
733 - 337 = 396
Se repite la operación unas cuantas veces con el resultado 396 y los sucesivos.
¿Qué se observa? ¿Cuál es la razón? ¿Qué pasa con un número de dos o de cuatro
cifras al hacer un proceso semejante?
PROBLEMA 12: ¿Cuántos partidos?
En un partido de tenis se presentan 1022 jugadores. Se organizan 511 partidos
y los perdedores son eliminados. En la segunda fase, como 511 es impar, se ha-
ce un sorteo para señalar un jugador que pasará sin más a la tercera fase;
para los otros 510 se organizan 255 partidos y se eliminan los perdedores.Etc.
¿Cuántos partidos se juegan en total para determinar al campeón?
PROBLEMA 13: ¿Un generador de primos?
¿Es cierta la conjetura de que si en la ecuación x² - x + 41 reemplazamos por
los naturales x = 1, 2, ....obtenemos siempre un número primo?
PROBLEMA 14: Subconjuntos
¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de n elementos?
PROBLEMA 15: En un cuadrilátero
En un cuadrilátero ABCD se trazan los puntos medios de los lados: M de AB, N
de BC, P de CD y Q de DA. ¿Cómo es la figura MNPQ?
DIBUJAR UNA FIGURA, UN ESQUEMA, UN DIAGRAMA
Son muchos los problemas que se hacen muy transparentes cuando se lo-
gra encontrar una representación visual adecuada de los elementos que en él
intervienen. Pensamos mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de pala-
bras, números o solamente símbolos.
PROBLEMA 17: JUEGO DE CARTAS
Las señoras X, Y, Z, una argentina, una española y una brasileña
aunque no por ese orden, están jugando a las cartas, sentadas en una mesa
redonda. Cada una ha pasado una carta a la que se sienta a su derecha. La se-
ñora Y ha pasado a la argentina. La señora X ha pasado una carta a la señora
que ha pasado una carta a la brasileña. ¿Cuál es la nacionalidad de X, Y y Z?
PROBLEMA 18: NUEVAMENTE EL DOMINO
Del juego de dominó se separan las fichas que tienen al menos un seis.
Se quiere colocar sobre la mesa las 21 fichas que quedan siguiendo las reglas
de juego. ¿Se puede hacer?
PROBLEMA 19: DOS CUADRADOS
Dos cuadrados iguales en el plano se mueven de modo que uno de los
vértices de ellos es centro del otro cuadrado. ¿Para qué posición el área de
la intersección de los dos cuadrados es máxima?
PROBLEMA 20: DOBLANDO UN PAPEL
Se coloca una tira de papel sobre la mesa. Se dobla por la mitad, le-
vantando la parte izquierda de la tira y colocándola sobre la derecha. Al des-
doblar aparece un pliegue con su pico hacia abajo (hacia la mesa). Ahora se
dobla dos veces: una vez repitiendo la operación anterior y luego volviendo a
plegar la parte izquierda sobre la derecha. Al desdoblar aprecen en la tira
tres pliegues, unos hacia arriba, unos hacia abajo. Se dobla tres, cuatro,
cinco veces. Más pliegues. Si se pudiera doblar 15 veces la tira, al desdo-
blar, el pliegue número 27 a partir de la izquierda, ¿estaría hacia abajo o
hacia arriba?
ELEGIR UN LENGUAJE ADECUADO, UNA NOTACION ADECUADA
Muchas veces, el resolver un problema depende fundamentalmente de que
el estilo de pensamiento que se aplique sea el adecuado o no al problema. Por
eso, antes de empezar a trabajar conviene pensar si será bueno utilizar un
lenguaje geométrico o bien un simple diagrama, o tal vez convenga utilizar un
lenguaje algebraico o analítico, o incluso, venga bien una modelización con
papel, cartón, etc.
PROBLEMA 21: El monje en la montaña
Un monje decide subir desde su ermita a la montaña para pasar allí la
noche orando. Sale de la ermita a las 9 de la mañana y después de caminar todo
el día llega a la cumbre. Allí pasa la noche y a la mañana siguiente, a las 9
de la mañana, emprende el camino a su ermita por el mismo sendero. Al ir ba-
jando, se pregunta: ¿habrá algún punto del camino en el que hoy esté a la mis-
ma hora que estuve ayer?
PROBLEMA 22: El problema de Josephus
En su libro "De Bello Judaico", Hegasipo cuenta que cuando los romanos
capturaron en la ciudad de Jotapat, Josephus y otros cuarenta judíos se refu-
giaron en una cueva. Allí decidieron los 41 judíos suicidarse antes que entre-
garse. A Josephus y otro amigo la idea no le gustaba. Propusieron hacerlo,pero
con orden. Se colocarían en círculo y se irían suicidando contando tres a par-
tir de un entusiasta que a toda costa quería ser el primero. ¿En qué lugares
se colocaron Josephus y su amigo para ser los últimos y una vez en mayoría
absoluta, decidir que no estaban de acuerdo con la automasacre?
PROBLEMA 23: Por uno no es cuadrado
Se observa lo siguiente:
1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 5² - 1
2 x 3 x 4 x 5 = 120 = 11² - 1
3 x 4 x 5 x 6 = 360 = 19²- 1
¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos es siempre un
cuadrado perfecto menos 1?
PROBLEMA 24: Los impares irracionales
Demostrar que si a, b y c son números impares, entonces
a x² + b x + c = 0
no puede tener raíces racionales.
PROBLEMA 25: La edad de mi hermano
Mi hermano me lleva 8 años.¿Dentro de cuántos años su edad será el do-
ble de la mía, si hace tres años era el triple?
PROBLEMA 26: Círculos tangentes
Se dan en el plano dos círculos iguales tangentes. Uno se fija y el
otro, que tiene dibujada una flecha en su interior, se hace girar permanecien-
do siempre tangente al fijo. Cuando el círculo móvil pasa a ocupar por primera
vez la posición del principio, ¿cuántas vueltas ha dado la flecha? ¿Y si el
círculo móvil tiene un diámetro que es la cuarta parte del fijo?
