R A M A A M A R I L L A X X I X
APLICACIONES DE LA SEMEJANZA (continuacion)
PROBLEMAS DE PERSECUCION
Supongamos un movil que sale de O en la direccion OX a una velocidad
de v km/h. Al cabo de un tiempo t estara en el punto A, tal que OA = v t
(movimiento uniforme). En este instante sale de O, en la misma direccion otro
movil con velocidad w > v. Se quiere saber el punto X en que el segundo movil
alcanzara al primero.
No expondremos la clasica solucion aritmetica: queda a gusto del lec-
tor. El interes de este tema reside en la SOLUCION GEOMETRICA.
Se toman en cualquier direccion y en una ESCALA DETERMINADA los seg-
mentos paralelos OP = w y AQ = v.
P
/ . Q
/ /
/ / .
/__________/_____________.
O A x
La recta PQ cortara a la recta OX en el punto x en que se encontraran los dos
moviles.
Para demostrarlo, observa que al llegar x desde A, el primer movil
tarda un tiempo t1 tal que
v t1 = A x.
El segundo movil, para llegar a X desde O, tarda el tiempo t2, tal que
w t2 = OX
Por semejanza de triangulos se tiene
OX OP w
----- = ----- = -----
AX AQ v
y por lo tanto
w t2 w
-------- = -----
v t1 v
de donde t1 = t2, es decir, los dos moviles llegaran a X en el mismo instante.
Observese que puede variar la direccion de OP y AQ, mientras sean pa-
ralelas, obteniendo siempre el mismo punto X.
Para hallar la distancia OX = x observese que por la semejanza de los
triangulos OXP y AXQ se verifica:
OX OP
---- = ---- , o sea
AX AQ
x w
----- = ---
x-vt v
es decir, vx = wx - vwt, de donde
vwt
x = -----
w-v
Recordar que debe ser w > v.
EJERCICIO
Un automovil sale de Bs. As. en direccion a Mar del Plata a 80 km/h.
Una hora y media despues sale otro automovil a 120 km/h en la misma direccion.
¿A que distancia de Buenos Aires se encontraran?
