Nota 5 - 17 / 04 / 2000

Esperamos sus mails en problematica@oma.org.ar

Nos escribió Salvador, con algunas ideas para los problemas que propusimos en la nota 4:

Lo que el propone es mirar por decenas. ¿Qué pasa en la decena del 1 al 10? Sólo el 5 cumple lo que se pide. ¿Y del 11 al 20? El 14 y el 19 cumplen. ¿Del 21 al 30? Hay también 2: el 23 y el 28. Habrá en todas las siguientes decenas exactamente 2 números que cumplan?

Desafortunadamente, no. ¿Cuántos hay en la decena del 41 al 50? Hay 3 números que cumplen: el 41, el 46 y el 50. No hay mucha regularidad.

¿Se podrá arreglar de alguna forma? ¡Sí! El problema fue empezar desde el 1. ¿Qué pasa si empezamos desde el 0?

Ahora sí: en la primer decena (del 0 al 9) hay 2. En la segunda también 2. ¡En todas hay 2! Por qué ahora sí hay regularidad y antes no? ¿Se les ocurre cómo demostrar que siempre hay 2 por decena? Por favor, piénsenlo y mandennos la demostración. También les dejamos que piensen, usando lo que vimos, cuántos enteros que cumplan hay en total.

¡Esperamos sus mails!

Ahora Pablo tiene un problema para contarnos:

Los problemas de Pablo Las mismas ideas se pueden usar para resovler este problema, que tomaron en la regional de 1997 de la OMA, en el segundo nivel: Diremos que un número natural es travieso si su desarrollo binario tiene un cantidad impar de dígitos 1; 6 no es travieso porque su desarrollo binario es 110 que tiene un cantidad par de dígitos 1. Determinar la cantidad de números traviesos que son menores o iguales que 1997.

Sobre este problema, hay muchas formas de encararlo. Lo que se le ocurrió a Salvador es pensar que los 100 números sean todos divisores de un número. Por ejemplo, tomamos todos los divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14 y 28.

Tenemos que elegir algunos de esos números para que la suma sea 28. Tomamos 1, 2, 4, 7 y 14.

Esto funciona, pero no son 100 números :(

Podemos entonces buscar algún número con muchos divisores y quedarnos con algunos. Prueben, a ver si sale de esa forma.

Vamos a seguir discutiéndolo después.

Acá terminamos por ahora, piensan los problemas y escribannos. ¡Será hasta la próxima!

Escriban a problematica@oma.org.ar

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